LE MATHÉMATICIEN ET l'aSTRONOME 167 



les travaux de ces grands géomètres s'enchevêtrent d'une ma- 

 nière bien curieuse — avaient conçu l'idée de ne plus considé- 

 rer l'intégrale elliptique comme une fonction de sa limite supé- 

 rieure, mais au contraire, et c'est en quoi consiste l'inversion, 

 la limite elle-même comme une fonction de l'intégrale. Ils ne 

 se contentèrent pas d'alterner simplement les rôles dévolus à 

 la variable indépendante et à la fonction ; ils eurent la hardiesse 

 d'attribuer à la variable indistinctement des valeurs réelles 

 et des valeurs complexes, et cherchèrent dans le domaine com- 

 plexe le secret des propriétés si mystérieuses que manifeste 

 l'intégrale elliptique dans le domaine réel. 



C'est par ce coup de génie que la conception des imaginaires 

 reçut ses lettres de naturalisation et sa consécration détinitive. 

 Malgré les services qu'elle avait rendus, en Algèbre pour la 

 décomposition d'un polynôme en facteurs linéaires, en Analyse 

 pour rapprocher les unes des auti-es les fonctions circulaires et 

 les fonctions exponentielles, elle paraissait alors plutôt être un 

 expédient heureux que posséder la valeur d'une méthode régu- 

 lière de calcul. Vue erronée, que la prodigieuse fortune de la 

 théorie des fonctions analytiques devait, à la suite des recher- 

 ches fondamentales de Cauchy, démentir d'une manière écla- 

 tante ! C'est au contraire cette même méthode de passage du 

 réel au complexe qui allait se montrer si remarquablement 

 féconde pour l'étude générale des fonctions algébriques, de 

 leurs intégrales, puis des équations différentielles et aux déri- 

 vées partielles, en un mot dans l'ensemble de l'Analyse. Aujour- 

 d'hui encore, rien ne présage l'abandon pi'ochaiii de cet admi- 

 rable instrument, au profit de méthodes nouvelles de nature 

 inconnue. 



Armés du principe d'inversion, Abel et Jacobi reconnurent 

 tous deux le principe de double périodicité qui constitue aujour- 

 d'hui la propriété la plus caractéristique des fonctions ellipti- 

 ques. Si, à l'argument u on ajoute des multiples entiers de deux 

 périodes co, co', on voit la fonction se reproduire sans changement. 



Employons le langage de la Géométrie. Représentons dans le 

 plan de la variable complexe un dallage dont les deux côtés 

 figurent les périodes m , oj' ; alors la fonction reprend la même 

 valeur aux divers points homologues d'un point choisi à volonté 



