168 HENRI POINCARÉ 



dans le dallage, elle épuise ses valeurs dans un seul et même 

 parallélogramme de périodes. C'est dans l'existence de cette 

 propriété que Abel et Jacobi trouvèrent la véritable base de la 

 théorie des fonctions elliptiques ; ils expliquèrent par là notam- 

 ment la possibilité d'une infinité de transformations algébriques, 

 alors qu'un seul cas de pareilles transformations, remarqué 

 avant eux, étonnait depuis longtemps leurs devanciers. 



A la suite de ces mémorables résultats on eut hâte de cher- 

 cher, au principe de la double périodicité, des généralisations 

 à de nouveaux domaines. Une première extension s'ott'rit dans 

 la théorie des fonctions abéliennes, lesquelles définissent des 

 fonctions uniformes mais à plusieurs variables indépendantes. 

 Si n est le nombre de ces dernières, le cas n = l est celui des 

 fonctions elliptiques et l'on a deux périodes. De même dans le 

 cas général, on possède '2n systèmes de périodes, de telle sorte 

 que la fonction abélienne se reproduise par l'addition de cha- 

 cun d'eux aux n arguments dont elle dépend. Nombreux sont 

 les perfectionnements qu'apporta Poincaré à cette théorie que 

 nous devons essentiellement au grand géomètre B. Riemann. 



C'est toutefois par une généralisation d'autre nature, que 

 Henri Poincaré allait s'illustrer. Revenons un instant aux fonc- 

 tions .elliptiques. Chacune d'elles peut être déterminée de deux 

 manières équivalentes : on peut d'abord pour la définir em- 

 ployer les coefficients du polynôme du quatrième degré, et 

 ces coefficients se ramènent essentiellement à un seul para- 

 mètre, le module. L'autre moyen consiste à se donner la forme 

 du dallage des périodes, le rapport des périodes, pour parler 

 algébriquement. Voici donc deux variables qui dépendent l'une 

 de l'autre, à savoir le module k et le rapport des périodes x ; on 

 peut se proposer d'exprimer l'une de ces variables en fonction 

 de l'autre. 



Il était dans l'ordre des choses qu'on cherchât d'abord à 

 exprimer t en k. Cette détermination s'opère de suite à l'aide 

 de certaines intégrales définies, de nature elliptique, mais on 

 peut aussi la faire dériver de l'intégration d'une certaine équa- 

 tion hypergéométrique bien connue depuis Legendre. Envisagée 

 ainsi la dépendanc^e des deux variables se présente sous un aspect 

 très compliqué ; le rapport des périodes t se trouve être une 



