LE MATHÉMATICIEN ET l' ASTRONOME 169 



fonction multiforme du module, douée d'une infinité de déter- 

 minations. Qu'on emploie au contraire le même principe d'in- 

 version que nous avons vu précédemment à l'œuvre à propos 

 des intégrales elliptiques : à l'instant la relation se simplifie et 

 apparaît sous sou vrai jour. Le module, en effet, est une fonc- 

 tion uniforme du rapport des périodes. 



La propriété de double périodicité de l'intégrale elliptique 

 se traduit par la suivante relative à cette fonction modulaire. 

 Soit une substitution linéaire et fractionnaire quelconque, à coef- 

 ficients entiers, à exécuter sur l'argument; la fonction modulaire 

 de cet at'gument demeure inaltérée par cette siihstitution. 



Nous avons en outre, au point de vue de l'inversion, une seconde 

 propriété à relever. Si on considère l'équation hyper géométrique 

 de Legendre, la variable indéjjendante s'exprime, d'une manière 

 uniforme, en fonction du rapport de deux solutions indépendantes. 



Ces remarquables résultats, concernant la fonction modu- 

 laire, illustrèrent le nom de leur premier inventeur, le profond 

 géomètre M. Hermite. 



Tel était l'état de la question lorsque H. Poincaré entreprit 

 de la porter à son dernier degré de généralité. Les difficultés 

 du problème étaient immenses. Le groupe modulaire est à coef- 

 ficients entiers ; il fallait d'abord généraliser la notion d'un 

 pareil groupe, de même que le groupe modulaire généralisait 

 la notion de double périodicité des fonctions elliptiques. Pour 

 nous faire mieux comprendre, employons le langage géomé- 

 trique. 



A la double périodicité correspond un dallage du plan com- 

 plexe suivant des parallélogrammes identiques accolés les uns 

 aux autres. De la même manière, au groupe modulaire corres- 

 pond un certain partage du demi-plan en triangles formés 

 d'arcs de cercle, de telle sorte qu'à tout point pris dans un 

 triangle correspond, comme homologue, un seul point dans cha- 

 cun des autres. On trouvera tous les triangles en partant d'un 

 d'entre eux, considéré comme domaine fondamental, et en lui 

 appliquant successivement toutes les transformations du groupe 

 modulaire. 



Pour diviser les difficultés de la question, il fallait donc 

 construire d'abord tous les groupes de substitutions linéaires 



