170 HENRI POINCARÉ 



discontinues, c'est-à-dire effectuer tous les partages possibles du 

 plan admettant les propriétés de correspondance univoque et 

 réciproque, analogues des précédentes vis-à-vis d'un domaine 

 fondamental à déterminer. Poincaré y parvint eu transformant 

 les arcs de cercle euclidiens qui limitent le domaine fondamen- 

 tal en droites de la Géométrie de Lobatchewski; ces considéra- 

 tions donnent un bel exemple de sa maîtrise dans les domaines 

 les plus divers des Mathématiques. Il fut conduit à distinguer 

 deux catégories de groupes discontinus ; il donna aux plus 

 généraux le nom de groupes kleinéens, les groupes fuchsiens sont 

 plus particuliers et laissent l'axe réel invariant. 



La seconde partie du problème consistait à former de toutes 

 pièces les fonctions qui épuisent leurs valeurs dans le domaine 

 fondamental correspondant à un groupe donné, et reprennent 

 des valeurs identiques aux divers points homologues du dallage 

 curviligne. Jacobi, pour résoudre le même problème dans la 

 théorie des fonctions elliptiques, avait trouvé les séries entières, 

 désignées par la lettre 6, dont les quotients deux à deux sont 

 susceptibles d'engendrer toutes les fonctions doublement pério- 

 diques. Ces fonctions 6 ne jouissent pas elles-mêmes de la 

 propriété de double périodicité, mais l'eftet de l'addition des 

 périodes est simplement de les multiplier par un certain facteur 

 exponentiel. Des fonctions 6, de formation semblable, mais à 

 plusieurs variables indépendantes, s'étaient aussi introduites 

 pour expliciter les fonctions abéliennes. Poincaré. poursuivant 

 la même idée, construisit des fonctions qu'il appelle 6-fuch- 

 sieunes, lesquelles sans admettre le groupe fuchsien considéré, 

 donnent les fonctions fuchsiennes de ce groupe, par leurs 

 quotients deux à deux. 



Cette analyse jjrofonde lui permit, parmi une foule de 

 résultats particuliers, de développer les belles analogies qui, 

 chose bien remarquable, continuent de rapprocher les fonctions 

 fuchsiennes de leurs lointaines parentes, les fonctions elliptiques. 

 Ainsi, de même que si deux fonctions elliptiques admettent le 

 même réseau de périodes, elles sont liées algébriquement, de 

 même deux fonctions fuchsiennnes de même groupe dépendent 

 algébriquement l'orne de l'autre. 



Réciproquement, une équation algébrique étant donnée entre 



