. LE MATHÉMATICIEN ET l' ASTRONOME 171 



deux variables, on peut exprimer ces variables par des fonctious 

 elliptiques d'un seul argument, aux mêmes périodes; ceci n'est 

 vrai toutefois que sous l'expresse condition que l'équation 

 donnée soit de genre 1, Poincaré a démontré que, quand cette 

 condition relative au geni-e n'est pas vérifiée, les coordonnées 

 de la courbe algébrique s'exprimeront toujours à l'aide de deux 

 fonctions fuchsiennes appartenant au même groupe. 



On a vu ci-dessus que la fonction modulaire provient de 

 l'inversion du quotient de deux solutions d'une certaine équa- 

 tion différentielle hypergéométrique ; eh bien, de la même 

 manière, toute fonction fuchsienue résulte de l'inversion du 

 quotient de deux solutions d'une équation linéaire du second 

 ordre à coefficients algébriques. 



Généralisant davantage, Poincaré est parvenu à intégrer 

 l'équation linéaire à coefficients algébriques, d'un ordre quel- 

 conque; l'intégrale s'obtient par des fonctions qu'il appelle 

 zétafuchsieunes. Ces dernières, liées aux fonctions fuchsiennes, 

 sont définies dans le tome V des Acta mailiematica, alors que 

 les tomes I et II contiennent l'ensemble de la théorie des 

 fonctions et des groupes kleinéens et fuchsiens. 



Le manque de place m'interdit de signaler ici, même som- 

 mairement, les innombi-ables contributions de Poincaré à 

 l'Algèbre, à l'Arithmétique, à la Géométrie et à l'Analyse géné- 

 rale, qui se rattachent plus ou moins directement à sa belle 

 création des fonctions fuchsiennes. Mais il sera permis de 

 rappeler du moins, à propos de l'uniformisation des fonctions 

 analytiques à déterminations multiples — problème si parfaite- 

 ment résolu par les fonctions fuchsiennes dans le cas des 

 équations algébriques — le théorème général d'uniformisation 

 formulé par Poincaré pour les fonctions analytiques quelcon- 

 ques. Si on a une j'onction analytique quelconque cV une variable, 

 on y eut toujours exprimer la fonction et la variable indépendante 

 par des fonctions uniformes d'une troisième variable. 



Ainsi que le remarque M. Btihl, l'étude des fonctions analy- 

 tiques se trouve, grâce à la propriété précédente, ramenée à 

 celle des fonctions uniformes et des inverses de pareilles fonc- 

 tious. Ce qui augmente encore l'intérêt de ce résultat capital, 



