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c'est le procédé qui a servi à l'obtenir: il n'est qu'une consé- 

 quence particulière de la méthode du balayage, imaginée par 

 Poincaré pour résoudre le célèbre problème de Diriclilet. 



Cette méthode du balayage, décrite plus bas par M. de 

 la Rive, me servira de transition pour passer aux travaux de 

 Poincaré, dans un nouveau domaine, celui de l'intégration des 

 équations aux dérivées partielles. 



Dès sa thèse inaugurale, présentée en 1878 à la Faculté des 

 Sciences de Paris, Poincaré n'a guère cessé de s'occuper de ce 

 problème très attachant en effet, et par sa haute difficulté, et 

 par les multiples aspects sous lesquels il peut se présenter. 

 Dans ce premier travail, Poincaré expose de nouvelles et impor- 

 tantes notions, entre autres celle des fonctions à espaces lacu- 

 naires, celle encore des fonctions algébroïdes qui est appelée à 

 jouer en Analyse un rôle important. Mais c'est pourtant beau- 

 coup plus tard, avec les mémoires capitaux : Sur les équations 

 aux dérivées partielles de la Physique mathématique (American 

 Journal, 1889, Rendiconti di Palermo, 1894), que Poincaré 

 apporta à cette théorie des perfectionnements de premier ordre 

 et des résultats tout nouveaux. Pour faire comprendre la 

 nature des progrès réalisés ici il est nécessaire de revenir 

 quelque peu en arrière. 



Ainsi que nous l'avons dit plus haut, c'est Cauchy le premier 

 qui démontra, à l'aide de la théorie des fonctions analytiques, 

 le théorème d'existence sur les solutions des équations aux 

 dérivées partielles. 



Prenons, pour nous faire comprendre, le cas de deux varia- 

 bles indépendantes et une équation du second ordre. Il existe 

 alors en général une solution tangente à toute développable 

 circonscrite à une courbe arbitrairement tracée dans l'espace : 

 voilà précisément, pour le cas en question, eu quoi consiste le 

 théorème de Cauchy. On voit que deux données arbitraires sont 

 nécessaires, mais aussi suffisantes en général, pour déterminer 

 une intégrale de l'équation proposée. Les équations de la 

 Physique avaient déjà, et longtemps avant Cauchy, fourni des 

 exemples qui mettent en échec son théorème d'existence; il 

 arrive mainte fois qu'une seule donnée suffise à déterminer 

 l'intégrale. 



