LE MATHÉMATICIEN ET l' ASTRONOME 173 



Le plus important de ces exemples est justement le fameux 

 problème de Dirichlet et la cause de l'exception réside simple- 

 ment ici dans le fait que la courbe de Cauchy est fermée. Je 

 n'ai pas à rappeler les nombreuses méthodes imaginées par les 

 géomètres au cours du XIX* siècle pour résoudre le problème ; 

 au nombre de celles-ci ligure celle du balayage, mentionnée 

 plus haut, qui n'a point toutefois, relativement aux autres, 

 celles de Scliwarz, de Neumaun, de Hilbert, des avantages 

 absolument signalés. 



Un autre cas, plus délicat encore, était posé par le problème 

 des vibrations d'une membrane tendue sur un contour plan 

 quelconque. Il s'agit cette fois de l'équation Mi-^nhi = 0, 

 dans laquelle u désigne le déplacement transversal d'un point 

 de la membrane, et doit par conséquent s'annuler au bord du 

 contour. Une solution s'oftre aussitôt, à savoir u = 0; c'est 

 même la seule possible quand le contour est quelconque et n 

 arbitraire. Or l'analogie avec le cas des cordes vibrantes, ainsi 

 que plusieurs cas particuliers accessibles au calcul élémentaire, 

 devaient faire prévoir que, le contour étant quelconque, il 

 existe une intinité de valeurs n telles que, pour chacune d'elles, 

 l'équation correspondante admette d'autres solutions que 

 u = 0\ ce sont les harmoniques de la membrane. Mais il y 

 avait loin de cette vue d'analogie à une démonstration rigou- 

 reuse du fait dont il s'agit. 



A la vérité, au moment oii Poincaré commençait ses pro- 

 fondes recherches, M. Schwarz, abordant le problème par son 

 côté géométrique et s' appuyant sur la notion des surfaces 

 minima et sur le calcul des variations, avait déjà démontré 

 l'existence d'une plus petite valeur n; elle correspond au son 

 fondamental rendu par la membrane. M. E. Picard, de son 

 côté, dans ses mémoires fondamentaux sur les équations aux 

 dérivées partielles, avait réussi à mettre en évidence le premier 

 harmonique qui suit le son fondamental. 



Il était réservé à Poincaré d'établir le premier, dans les 

 mémoires cités plus haut, l'existence d'une série illimitée 

 d'harmoniques successifs qui se composent, chacun avec son 

 amplitude particulière, dans le mouvement complexe le plus 

 général exécuté par la membrane. La méthode qu'emploie 



Archives, t. XXXVIII. — Septembre 1914. 14 



