174 HENRI POINCARÉ 



Poiiicaré pour parvenir à ce beau résultat est trop délicate 

 pour qu'il soit possible de la résumer ici même à grands traits; 

 il suffira de dire qu'il réussit par une analyse très pénétrante, 

 à former une équation transcendante dont les racines, en nom- 

 bre iiiliui, fournissent toutes les constantes n qui caractérisent 

 les harmoniques successifs. Ces beaux mémoires sont d'autant 

 plus fondamentaux qu'ils ont contribué à la découverte récente 

 des équations intégrales due essentiellement à MM. Volterra 

 et Fredholm. C'est cette dernière méthode qui sert aujourd'hui, 

 parce que plus simple, à démontrer les théorèmes de Poincaré 

 sur les vibrations des corps, en même temps qu'elle donne la 

 solution de beaucoup d'autres problèmes analogues ressortis- 

 sant au domaine des équations aux dérivées partielles. 



Poincaré s'est d'ailleurs, dans une autre direction, montré 

 un précurseur pour la théorie des équations intégrales, par ses 

 recherches sur les déterminants d'ordre infini. Il en a suivi le 

 développement de ti'ès près, en a présenté d'importantes appli- 

 cations, notamment à propos de la théorie des marées, dans le 

 troisième volume des Leçons de Mécanique céleste; c'est aussi 

 cette méthode qu'il emploiera pour déterminer l'amortissement 

 d'un excitateur. 



Sur ces divers sujets qui touchent autant à la Physique qu'à 

 l'Analyse proprement dite, je renvoie aux détails donnés plus 

 loin par M. de la Rive. Je passe maintenant à une des plus 

 importantes découvertes de Poincaré, celle qui résulte de l'étude 

 qualitative qu'il entreprit sur les équations ditterentielles et les 

 propriétés de leurs courbes intégrales. 



Nous avons rappelé incidemment le rôle prépondérant joué 

 en Analyse, depuis Cauchy, par les quantités imaginaires. Cet 

 instrument notamment s'est montré, avec Briot et Bouquet, 

 bientôt suivis par M. Fuchs et plus près de nous par M. Pain- 

 levé et M. Schlesinger, d'une remarquable efficacité pour abor- 

 der l'étude des équations difterentielles. Il s'en faut toutefois 

 de beaucoup que l'intégration de ces équations, même avec le 

 concours des imaginaires, puisse être eiïectuée dans tous les 

 cas. D'ailleurs le point de vue réel n'en reste pas moins, en 

 pratique, d'un intérêt primordial. C'est Poincaré qui s'est replacé 



