LE MATHÉMATICIEN ET l' ASTRONOME 175 



franchement sur le terrain réel ; dans cet ordre d'idées il a 

 entrepris l'étude des points singuliers que peuvent présenter les 

 équations différentielles à coefficients réels, et ne lui a pas con- 

 sacré moins de quatre mémoires. 



La question des singularités est importante parce qu'elle se 

 rattache à la discussion qualitative d'une équation donnée ; on 

 se propose ici de reconnaître sur l'équation seule l'allure des 

 diverses courbes intégrales, de savoir si elles ont des branches 

 infinies, si elles sont fermées, etc. Ce problème est de la même 

 nature que celui qu'on examine dans les cours de Géométrie 

 analytique à propos des équations algébriques ; seulement le 

 cas élémentaire ne fait en rien présager la difficulté de l'autre. 



Prenant d'abord les équations du premier ordre et du premier 

 degré par rapport à la dérivée. Poincaré a découvert la possi- 

 bilité de quatre genres de points singuliers seulement. Il emploie, 

 pour les désigner, une terminologie basée sur des analogies 

 topographiques et les classe: 1" en cols par où passent deux 

 courbes intégrales, 2° en nœuds où se réunissent une infinité de 

 ces courbes ; les nœuds sont semblables aux sommets et aux 

 fonds d'un terrain relativement aux lignes de plus grande 

 pente, 3° en foyers que les trajectoires enveloppent en tournant 

 tout autour à la façon d'une spirale, 4" en centres autour des- 

 quels ces mêmes trajectoires circulent en s'enveloppant les unes 

 les autres. 



Une notion toute nouvelle également, et qui jette le jour le 

 plus cru sur l'impossibilité d'exécuter ordinairement l'intégra- 

 tion par les procédés de l'analyse élémentaire est celle des 

 cycles limites. Il existe, dans le cas général, certaines trajec- 

 toires fermées autour desquelles toutes les autres trajectoires 

 tournent en s'approchant de plus en plus sans cependant jamais 

 se confondre avec elles ; les courbes intégrales passant aux 

 points singuliers font seules exception à ce phénomène d'asymp- 

 totisme et ne circulent pas autour des cycles limites. Des faits 

 analogues, plus compliqués encore, se manifestent dans le cas 

 des équations différentielles à plusieurs inconnues qui définis- 

 sent des systèmes de trajectoires, multiplement infinis, dans un 

 espace de dimension quelconque. Parmi tant de résultats 

 imprévus, on peut, avec M. Darboux, relever comme particu- 



