LE MATHÉMATICIEN ET l' ASTRONOME 179 



Pour expliquer la chose en peu de mots, faisons correspondre 

 à notre solution périodique une courbe fermée dans un espace 

 à un nombre de dimensions convenablement choisi ; les autres 

 solutions seront également figurées par des courbes de ce même 

 espace. Eh bien, il existera toujours des solutions asympioti- 

 ques à la première, c'est-à-dire que les courbes correspondantes 

 se rapprocheront à l'une de leurs extrémités de la courbe fermée 

 autour de laquelle elles circuleront indéfiniment sans jamais se 

 confondre avec elle; dans ces conditions la solution périodique 

 fournit, pour la solution générale, une approximation d'autant 

 meilleure que le temps écoulé est plus grand. Il existe aussi, 

 sous des conditions particulières, des solutions doiihlement 

 asymptotiqiies, et pour celles-ci l'asymptotisme est double, 

 ayant lieu à chaque extrémité : autrement dit, la courbe se 

 déroule d'abord en s'écartaut de plus en plus de la trajectoire 

 fermée pour finir par s'en rapprocher et s'enrouler de nouveau 

 une infinité de fois autour d'elle. Périodique dans un passé très 

 reculé, le mouvement est destiné à le redevenir après une per- 

 turbation plus ou moins prolongée. 



Ces phénomènes très compliqués le deviennent davantage 

 encore quand on pousse l'analyse plus à fond. Décrivons par 

 exemple une surface qui contienne la trajectoire fermée avec un 

 certain nombre de trajectoii-es doublement asymptotiques, puis 

 numérotons celles-ci. par ordre d'éloignement, à chacune de 

 leurs extrémités. Il arrive le plus souvent que les deux numé- 

 rotations ne s'accordent pas, chaque asymptotique estaftectée 

 de deux numéros différents ; ce fait est relevé par Poinearé 

 comme tout-à-fait caractéristique de la haute difficulté du 

 problème de la Mécanique céleste, qui est transcendant aux 

 méthodes d'intégration élémentaires. 



La question de la stabilité des trajectoires que j'ai mention- 

 née plus haut est aussi résolue par Poinearé d'une manière 

 extrêmement remarquable. Pour comprendre la solution qu'il 

 eu donne, procédons par comparaison, et revenons aux phéno- 

 mènes que manifestent les équations diff"érentielles du premier 

 ordre. Nous avons vu que dans ce cas toutes les trajectoires se 

 raccordent avec les cycles limites, exception faite pour un cer- 

 tain nombre de trajectoires exceptionnelles, lesquelles passent 



