LE MATHÉMATICIEN ET l' ASTRONOME 181 



nètes. La question, il est vrai, est autant du ressort de l'Hydro- 

 dynamique que de l'Astronomie, puisqu'elle concerne les for- 

 mes d'équilibre d'une masse Huide homogène, eu rotation uni- 

 forme autour d'un axe fixe, et dont tous les points s'attirent 

 suivant la loi newtonienne. 



Ce problème, très difficile, ne peut être abordé d'une ma- 

 nière directe. Impossible d'obtenir la solution générale; les 

 seules solutions qu'on en connaisse sont des solutions particu- 

 lières, obtenues par des essais, puis contrôlées à posteriori. La 

 première en date est classique, c'est celle de l'ellipsoïde de 

 révolution démontrée par Mac Laurin ; elle resta la seule jus- 

 qu'au jour où Jacobi prouva que, dans certaines limites de la 

 vitesse angulaire de rotation, l'ellipsoïde à trois axes inégaux 

 satisfait lui aussi les conditions d'équilibre, résultat remar- 

 quable en raison de la dissymétrie de la forme d'équilibre 

 autour de l'axe. Enfin Thomson et Tait, dans leur Traité de 

 Philosophie naturelle, avaient indiqué de nouvelles figures 

 annulaires. 



On en était là, quand Poincaré, attaquant le problème à son 

 tour, obtint une infinité de nouvelles formes d'équilibre dont 

 les plus connues sont les figures 'pirif ormes; leur détermination 

 dépend des fonctions de Lamé. 



Mais plus importante encore que cette découverte est la dis- 

 cussion qu'il entreprit au sujet de la stabilité de ces diverses 

 formes d'équilibre. Considérons une vitesse angulaire déter- 

 minée (i) ; il existe généralement plusieurs figures compatibles 

 avec cette vitesse, disons deux par exemple. Si w change de 

 valeur, nos deux figures se modifient chacune pour son compte ; 

 il existe certaines valeurs w oii elles se confondent. Qu'on fasse 

 alors varier to au delà de cette valeur qui produit la coïnci- 

 dence, deux cas pourront se présenter ; ou bien les figures 

 d'équilibre disparaissent, ou bien elles reparaissent en restant 

 réelles. Dans ce second cas, le plus intéressant des deux, il se 

 produit une sorte de bifurcation des figures d'équilibre à partir 

 de la coïncidence. 



Eh bien, Poincaré a fait voir qu'il y a échange des stabilités; 

 c'est-à-dire, si avant la bifurcation une des figures était stable 

 et l'autre instable, c'est le contraire qui a lieu après la bifur- 



