302 SUR l'équation intégrale d'abel 



tion cessera d'avoir lieu sont des coupures de la fonction F (/) ; 

 les coupures rayonnent évidemment autour de l'origine, elles 

 se déforment quand on substitue un contour curviligne au 

 chemin d'abord rectiligne de l'intégration. 



En ce qui concerne le numérateur/ (2^, t), je lui donnerai la 

 forme générale 



Le numérateur de cette expression g (z, t) est supposé holo- 

 morphe dans un domaine double, comprenant, pour le plan {2), 

 une aire à laquelle le segment 01 est complètement intérieur 

 sans en toucher le bord, pour le plan {t) un cercle décrit autour 

 de l'origine ; de plus on n'a pas g (0, t) = 0. C'est afin de 

 multiplier un peu les singularités qu'on a ajouté le divi- 

 seur ~, de manière que l'intégrale (1) est singulière à chacune 



de ses limites. Il est clair que c'est seulement en vue de la 

 précision des données que celles-ci ont été choisies égales à 

 et 1, mais qu'elles pourraient être aussi bien transportées en 

 deux points quelconques du plan {z). Il est d'ailleurs entendu 

 que, l'intégrale devant être convergente, l'exposant g, positif 

 ou négatif, ne saurait dépasser 1. 



Le problème à résoudre consiste à reconnaître la nature de 

 la singularité oft'erte par F (t), dans le voisinage du point t = 0. 

 ou plus, généralement, à représenter F (t) par des développe- 

 ments convergents autour de l'origine. 



§ 2. Considérons d'abord le cas très simple d'une seule 

 singularité 



F(0 = ( m'""!-. ^^ ' (2) 





(0 



