SUR l'Équation intégrale d'arel 303 



et posons x = \ — u, u = ai — ^^f- -\- . .. . Soient S et C le 

 domaine double dans lequel est définie la fonction g [z, t. 



Soit L la coupure tracée dans le plan t à laquelle correspond 

 le segment indéfini L' = 1 oo pour la variable x == 1 — ii; nous 

 supposons que le cercle C soit assez petit pour que tous les 



points tels que - ne sortent pas du domaine S dans le 

 plan (z). 

 Posons : 



X 



ce qui revient à substituer au contour rectiligne d'intégra- 

 tion le contour brisé 0, -, 1 . Dans la première intégrale | '^, 



^ ^ J 



nous remplacerons xz par y. dans la seconde i , xz par 



X 



\ — u {\ — y) \ ces deux transformations donnent immédia- 

 tement 



.»i _/ y 



y' (3) 



\ - uJ (1 



1 - H f 



'-' 



/-(i + r^. > , '^ 



(1 - yr 



Il est clair que, si le cercle C est suffisamment petit, chacune 

 des intégrales de la formule (3 1 est développable suivant les 

 puissances de t. Ainsi donc, eu général, la fonction F {t) ad- 

 mettra un point critique du type i^-*», si u est du premier 

 ordre en t, du type ^«(i--«^ si u est du s'*""^ ordre ; il serait 

 aisé de reconnaître sous quelles conditions la singularité peut 

 disparaître. 



C'est de la formule (3) que nous ferons dépendre la solution 

 générale de notre prol)lènie concernant l'intégrale F (f). Il faut 

 toutefois remarquer que la substitution du contour brisé au 

 chemin primitif d'intégration n'est possible que si la fonction 

 à intégrer 



(1 — xzY 



