304 SUR l'équation intégrale d'abel 



reste intégrable autour du point critique z= - . Dans le cas 



contraire, c'est-à-dire si ci>\ , les intégrales (3) sont diver- 

 gentes. Pour écarter ce cas, il suffit de remarquer l'équation 



J^ (1 - xz)"^^ x^-idx J„ (1 - 



t)dz 



XZ)" 



laquelle servira à abaisser progressivement l'exposant au- 

 dessous de l'unité s'il est fractionnaire, jusqu'à l'unité s'il est 

 entier. 



Il reste donc simplement à examiner, à titre de cas parti- 

 culier, celui de a = 1. Ou a alors 



/ l — XZ 



«^ 



J Q l — XZ ' XX"" 1 J l — XZ ' 



La seconde intégrale vaut log (1 — x), la première se 



X 



transforme en une intégrale régulière autour du point critique 

 2; == -. En appliquant à celle-ci les transformations qui nous 

 avaient donné la formule (3), nous obtenons cette fois 



J (1 - y)(i 



+ I -^ -. n) ''" ■ 



où se trouve mise en évidence la nature logarithmique du point 

 singulier ^ = 0. Quant à l'intégrale qui subsiste dans le second 

 membre de (4), on peut la simplifier un peu en opérant, d'une 



manière formelle, la division par le facteur :; et écrivant à 



sa place 



