SUR L EQUATION INTEGRALE D ABEL 



.1 /^i .. / y 



305 



J - 



«/ » 



1 - u 



+ {1 - y)z,t 



1 — u 



dydz , 



df 

 expression o\if'{a, h) remplace ;f^. 



et CL 



§ 3. Avant de passer au problème général de l'intégrale 

 (1), il nous faut d'abord étudier, dans le champ complexe, 

 l'équation intégrale d'Abel 



f(2) 



/<p{'x)d(x. 



(5) 



Cette question, facile, est intéressante en elle-même, ainsi 

 que par ses rapports avec le problème d'Abel dans le champ 

 réel ; si la fonction '^ (a) était analytique et l'exposant m infé- 

 rieur à l'unité, il serait aisé par une déformation du contour A 

 d'intégration de ramener l'un à l'autre les deux cas du champ 

 complexe et du champ réel. Mais cette réduction ne nous est 

 pas utile ici et nous allons traiter pour lui-même le cas com- 

 plexe. Présentons d'abord, au sujet des données, quelques pré- 

 cisions indispensables. 



Dans (5), le contour d'intégration est une courbe A, dont 

 le dessin ci-contre indique les principales particularités. Cette 

 courbe, plus ou moins symétrique autour de l'axe des x. passe 

 à l'origine et n'est rencontrée par les parallèles à l'axe 

 qu'en deux points seulement. Si, comme dans la figure, la 



