306 SUR l'équation intégrale d'abel 



courbe présente un angle à l'origine, il est entendu que les 

 deux branches n'y formeront pas un rebroussemeut. 



Quant à la fonction '^ (a), qui figure dans le numérateur de 

 (5), elle pourrait être quelconque pourvu qu'elle soit intégrable 

 le long du contour A. Mais, le plus ordinairement, nous 

 admettons qu'elle est analytique et holomorphe à l'intérieur 

 de A. C'est au bord seulement qu'elle peut admettre des sin- 

 gularités ; nous admettons non seulement que çp (a), mais même 

 que ] 'f (a) | est intégrable. En particulier, à l'origine, tp (a) 

 aura la forme 



9(^) 



<p{^) 



XP 



le numérateur g (a) étant holomorphe, non nul en 0, et l'expo- 

 sant j9 <; 1. 



La fonction f (a) étant donnée, pour quef{z) soit bien défini, 

 on fera commencer l'intégration à l'origine et on l'exécutera 

 dans le sens direct. En outre, r et 6 désignant le module et 

 l'argument de la différence ol-z, on fait (a-^)*" = r"'e'"^'', et on 

 suppose que l'argument 6 varie d'une manière continue et 

 s'annule au moment où le vecteur zy. devient parallèle à 

 l'axe OX dans le sens de cet axe. Alors, quand a trace la 

 courbe A, à partir du point 0, dans le sens direct, l'argument, 

 d'abord négatif, augmente et sa variation totale atteint 2k au 

 bout d'un tour entier. Il convient d'observer que même si z 

 venait à se confondre avec un point p du contour lui-même, ces 

 prescriptions resteraient valables : l'argument de (a — p) serait, 

 il est vrai, une fonction discontinue du point a, augmentant 

 brusquement de tc au moment oîi a passe en [î. De cette 

 remarque résulte immédiatement que, considérée comme une 

 fonction du point p, l'argument de (a — p) est aussi une quantité 

 discontinue : lorsque a est fixe et ^ mobile dans le sens direct 

 le long de A, le dit argument diminue brusquement de tt à 

 l'instant où p franchit a. 



Tout ceci étant bie,n compris, on voit que f (z) est une 

 fonction parfaitement définie de la variable z; elle est analy- 

 tique et holomol-phe à l'intérieur de A, cela même au cas où 

 ^(a) ne le serait pas. Si, de plus, m était inférieur à l'unité, 



