SUR l'Équation intégrale d'abel 307 



/(^) resterait tiui en tout point du contour, l'origine p = étant 

 peut-être seule exceptée. Laissons m quelconque, supposons 



et demandons-nous quelle est la nature de la singularité que 

 présente à l'origine cette fonction f (z). La réponse est 

 aisée. 

 En effet, faisons a = -{Z, il vient 



Z"' + P~^f\Z) 



j 



^yp(y _ 1). 



la ligue d'intégration V est transformée de A par la subs- 

 titution a = '(Z ; elle entoure le 

 point Y = 1 et s'aniplilie à l'infini 

 à mesure que z décroit. Si on dé- 

 signe par ds l'élément d'arc, par 

 r et )■' les rayons vecteurs 7O, 7I, 



et qu'on suppose g (a) borné de ^-^■^~^.^_^,,.'^ /- 



sorte que | g (a) j <; M , on voit 

 que l'intégrale ci-dessus a pour limite supérieure la quantité 



M f A~ 



évidemment convergente à mesure que la courbe se déforme 

 en allant à l'infini, sous la condition ^ + m>> 1, et l'on verrait 

 sans peine que la conclusion demeure vraie dans le cas oti 

 I g (a) I, sans être borné, serait intégrable le long de A. Ainsi, 

 sous la réserve jj -}- m >- 1, le module de z'^+i'-^/iz) reste 

 limité dans le voisinage de 2 = 0. 



Le cas le plus intéressant, celui où g {z) est holomorphe dans 

 A, autorise une conclusion plus nette. Dans ce cas, en effet, 

 la courbe T peut être maintenue fixe tandis que z décroît et que 

 la courbe A', correspondant à F par la transformation a = -(Z, 

 s'a])proche de de manière à laisser en dehors d'elle tous les 

 points singuliers de g (z). On a donc, cette fois, sans aucune 

 limitation visant l'exposant 2) -j- m, 



