308 SUR l'équation intégrale d'abel 



ou bien, comme le second membre est évidemment holomorphe 

 en z dans l'aire A 



2P+' 



Pour que la formule précédente exprime la nature de la 

 singularité, il faut ajouter que la valeur initiale G (0) est ordi- 

 nairement différente de 0. 



En effet, on a 



G(0) = ^(0) r ,,/^, = 2ip(0) sin mn ^<1 - "0^(1 - i>) 



et d'après la signification des lettres, p n'est pas entier, il est 

 plus petit que l'unité, en outre ^(0) n'est pas nul. On voit à 

 l'instant que G(0) ne saurait s'annuler que dans les deux 

 hypothèses que voici : ou bien m est un entier nul ou négatif, 

 ou bien m^f — 2 est un entier nul ou positif. 



Or, le premier de ces deux cas peut être écarté comme dénué 

 d'intérêt ; la fonction/(s) est alors identiquement nulle puisque 

 l'élément à intégrer est holomorphe en a dans toute l'étendue 

 du domaine A. 



Pour étudier le second cas, désignons par h un entier positif 

 et posons ^ -|- *^ — 2 = A; ; l'expression 



/(.) = -^^ = M 



semble indiquer pour /(s) un pôle d'ordre ^-^1. Mais eu 

 réalité on a 



J y/^'i^ - 1)"" ^^ ni ' 



avec 



r 

 Or le diviseur 



