SUR l'Équation intégrale d'abel 309 



est uniforme dans F, et l'on peut déformer le contour d'inté- 

 gration pour l'étendre dans tous les sens jusqu'à l'intini. En 



faisant ainsi 3 = -, il vient 



résultat nul pour tout m égal ou inférieur à k, l'intégrale 



devant être exécutée sur un petit cercle entourant le point 0. 



On voit donc, en résumé, que si cp(s) est analytique dans A, 



régulier à l'origine ou, plus généralement, doué en ce point 



d'une singularité algébrique du type — , avec p <; 1 , la fonction 



f(z) possédera de même une singularité du type p^^„_ ^. Il y 



a exception quand jj -f- w — 2 est un entier positif ou nul et il 

 eu résulte que /(à) n'aura jamais de pôle ; la fonction f{z) est 

 holomorphe à l'origine dans le cas en question. 



D'ailleurs, en vue d'assurer la convergence de certaines 

 intégrales, nous allons être conduits à imposer à nos exposants 

 une nouvelle restriction, à savoir |? -\- m<i2: voici les circons- 

 tances où cette condition est appelée à intervenir. 



Considérons, avec la courbe A, tracée par le point a, une 

 autre courbe engendrée par un point ^. Les caractéristiques 

 de la nouvelle courbe B seront essentiellement les mêmes que 

 celles de A; elle est intérieure à A, passe en 0, mais sans s'y 

 trouver en contact avec A, de manière que si A n'a pas d'angle 

 en 0, B en aura un. Je dis que sous ces conditions et]) -{-m 

 étant plus petit que 2, si on envisage l'intégrale double 



l'ordre des deux intégrations peut être alterné; pour établir ce 

 point, il suffit de montrer que la dite intégrale double est 

 absolument convergente. C'est ce qui résulte des remarques 

 qui suivent. 



Soient en effet a, a les cosinus directeurs de la tangente 

 en menée à la courbe A, b , h' les mêmes quantités relatives 



