310 SUR l'équation intégrale d'abel 



à la courbe B, entin s , s' les arcs de ces courbes. Nous avons, 

 au premier ordre près 



a = (a + a'i)s , /3 = (6 + b'ijs' , 

 7. — ^ — (as — bs') + i{a's — b's') . 



A cause de la supposition faite sur les tangentes de nos deux 

 courbes à l'origine, on n'a pas ah' — ah = 0; on peut donc 

 prendre pour variables indépendantes les quantités 



o = as — bs' , o' = a's — b's' , d'où s = /b + go' . 

 On a donc, toujours au premier ordre près, 



dodo' 



doidp = dsds' 



ab' — a'b 



I a — yS 1 = I o + io' ' =--^ i/'o- + o'^ ; \ OL \ = s = \ fo + go' \ , 

 d'où 



J J \ ^pi^ - Pr I 



! ab' — a'b j J J {o- + o'- 



dodo' 



+ ur':Hfo + go' + v)p ' 



u et V désignent deux infiniment petits des ordres 3 et 2 rela- 

 tivement à G , o' . Si donc on emploie, à la place des coordonnées 

 rectangles o, o', les polaires r et 6, l'intégrale précédente se 

 transforme en 



r r drm 



,1 + eip(<))) , 



P étant une quantité finie, s un infiniment petit quand r s'ap- 

 proche de , (î;(6) une fonction intégrable en 0. Le résultat est 

 évidemment convergent si m^p<i2, et il en sera de même 

 pour l'intégrale générale (6), à condition que | g{a) \ soit 

 intégrable le long de A, et fini en 0. 



