SUR l'Équation intégrale d'abel 311 



i^ 4. Après ces longs préliminaires, passons à la résolution 

 de l'équation (5) par rapport à l'inconnue t (a). Pour que cette 

 résolution soit possible, il faut naturellement que la donnée 

 f{z) soit analytique à l'intérieur de A et holomorphe. Mais 

 pour obtenir un résultat précis, nous admettons de plus que 

 f{z) est prolongeable sur tout le bord, sauf peut-être en 0, où 



cette fonction présente une singularité du type t^, l'exposant q 



étant inférieur à la plus petite des deux quantités 1 et m. 

 Dans ces conditions, je dis que la fonction 



"P^'^ ^ An sin mTtJ ^ (a - z)^-"^ ' ^^^ 



est une solution analytique de V équation intégrale (5). 



D'abord, en premier lieu, l'intégrale (7) existe à cause des 

 suppositions 



/•(a) = ^' et 2< 1 ; 



elle fournit la définition d'une fonction '^ (2;) déterminée en 

 tous les points intérieurs à A. Cette fonction est analytique 

 dans A et présente, à l'origine seulement, une singularité du 



type ^fi_,n+-i . Pour définir z {z) au delà de A et sur le contour 



même, il suffira de remplacer la ligne d'intégration par une 

 une autre, telle que C, tracée dans le domaine d'existence de 



f{z) lequel déborde partout sur A, sauf en 0. Nous admettons 

 d'abord que la courbe C n'est pas tangente en à la courbe C, 

 et qu'elle est partout extérieure à cette dernière. Ainsi z étant 

 compris dans le nouveau domaine délimité par C, on a comme 



