312 SDR l'équation intégrale d'abel 



définition plus générale, applicable par exemple aux points de A 

 m — 1 r f(y)dy 



<piz) = 



-r 



4:71 sin mjtj f, {y — «)*" 



Calculons la quantité 



L 



(p(r)dy. 



laquelle est convergente, puisque à l'origine 



VV ; ^q-m + l ' 



et que q — m-\-\ est inférieur à l'unité par suite de la conven- 

 tion 5<;m. Ou a donc 



/çj(a)(ia _ m — 1 f C 



f{y)dydy. 



(y - a)*—!^ - zY 



Mais la somme des exposants q-\-{2—tn) étant inférieure à 

 2, à cause de l'hypothèse q<im, on peut alterner l'ordre des 

 intégrations et commencer par celle relative à a en écrivant 



/ q){^)d7. _ m — l r r do 



^ (a - z)"' ~ 471 sin m7tj J^^' ^ J ^{y - a)''- 



-, • (8) 



(a - 0)'» ^ ' 



Supposons z intérieur à A, et remarquons l'identité 



/cZa _ 1 {y — a)""— i(a — z)^- 



(y — a)2— "(a — z)'" 1 — m y — Z 



Or Y est extérieur à la courbe A, l'argument du premier 

 facteur reprend sa valeur primitive quand a opère une circu- 

 lation complète autour de A, tandis que, z étant intérieur, 

 l'argument du second facteur augmente de 2;r. On a donc 



/. 



dy. 1 y^-^- z|i-".(e-2^"" — 1) 



"(a — 2)"' 1 — m 



il faut rappeler ici que l'argument de y s'annule au moment où 

 ce point traverse l'axe des x en remontant, tandis que l'argu- 



