SUR l'Équation intégrale d'abel 313 



ment de (—z) est déterminé par la règle générale concernant 

 (a — z) lorsqu'on applique cette règle au moment où le point a 

 quitte l'origine pour commencer sa circulation. 

 Portons la valeur précédente dans l'intégrale (8), elle devient 



j ^ (a — z)"" 4jt sin mjt J x y ~ 



— dy 



z ' 



(9) 



'ii--^ (- zy-^z'^-^fiz) 



2 sin mjt 



Mais d'après les règles concernant l'argument de la ditté- 

 rence (a — z), si on désigne par p et 6 le module et l'argument 

 de 2! , on a 



z = ^e"' , — z = ^e<ô--)'' , 0"»— 1(— zY—"" = — e™"'' ; 



par suite le second membre de (9) se réduit à /(s) et l'on a 

 bien 



95(a)da 



/, 



^ (- - zY 



-m 



Il importe d'insister sur le fait que la seule condition à véri- 

 fier par l'exposant pour l'exactitude de la solution (7) est que 

 m dépasse g; cette donnée q est elle-même arbitraire sans 

 qu'elle puisse cependant être supérieure à l'unité. Toutefois 

 l'affirmation précédente est un peu trop absolue; une exception 

 doit être mentionnée, qui provient de la présence dans (7) du 

 coefficient numérique 



Quand m — 1, ce facteur est fini et rien n'est à modifier dans 

 les conclusions ; ce cas, étant immédiat, constitue même une 

 bonne vérification du résultat ; on a en eft'et 



„(.) - - i 2^r(,) = - 'g^ , 



valeur qui satisfait (5) quand m = 1. 



Si m est un entier plus grand que l'unité, le facteur numé- 

 rique devient infini, mais l'intégrale qui le multiplie tend vers 



