314 SUR l'équation intégrale d abel 



zéro, et en cherchant la limite de la solution (7), on trouve 

 aisément 



(î?? - 1) f f{y.) log (y. - z) 



fonction qui vérifie effectivement (5), comme il est facile de le 

 reconnaître. 



Si enfin m est un entier nul ou négatif, le coefficient reste 

 infini et l'intégrale finie, le résultat est illusoire : c'est l'excep- 

 tion dont il s'agit. 



Il reste en dernier lieu à s'assurer si la solution (7) est la 

 seule qu'admette notre équation (5), A cet égard, il est bien 

 clair que rien ne prouve que (5) ne puisse admettre des solu- 

 tions non-analytiques, même en nombre infini. Aussi ne parle- 

 t-on ici que des seules solutions holomorphes dans (A) et inté- 

 grables en 0. 



Supposons donc qu'on possède eu dehors de (7), une autre 

 solution X(s) ; la ditt'érence ^!^{z) = tp (0) — X{z) vérifierait 



J (A) 



r^^^ = , (10) 



comme aussi toute solution de (10), non identiquement nulle, 

 donnerait pour (5), un faisceau ^f(z) -^c<\){z) de solutions avec 

 un paramètre constant. 



Or, au sujet de (10), il y a deux cas à distinguer. Si m est 

 plus grand que l'unité et que p soit, par exemple, le plus grand 

 entier contenu dans m, en intégrant p fois, on aurait 



L 



(a 



^ , = Co + CiZ + ... + Cp-lZP- 



équation qui admet toujours des solutions <^{z), différentes de 

 0, si les constantes c ne sont pas toutes nulles. Dans ce cas, on 

 voit que (5) s'intègre d'une foule de manières différentes ; la 

 solution (7) a été choisie, un peu au hasard, dans l'ensemble 

 de ces solutions conjuguées. 



Supposons au-contraire m inférieur à 1, et d'ailleurs positif 

 ou négatif; dans ce cas (10) n'admet pas d'autre solution, 



