SUR l'Équation intégrale d'abel 315 



holomorphe dans A, que t|;(a)=-0. En effet, prenons z réel, 

 puis ramenons le contour au lacet <dz : sur le bord inférieur du 

 lacet ou a 



(a — 2) = a — ^ j e— -' , et (■y. — z) = \ 'X — z\ e~' 



sur le bord supérieur. L'intégrale (10) se réduit donc à l'équa- 

 tion réelle d'Abel, ou 



j: 



'ip^y)dy. ^ ^ 



(z — y.)" 



celle-ci, comme on sait, n'admet pas d'autre solution que 

 ({;(a) = 0. C'est-à-dire que l'équation intégrale (5) n'admet 

 point d'autre solution analytique que celle donnée par la 

 formule (7). ' 



§ 5. Reprenons maintenant notre problème général du § 1. 

 Pour le résoudre, remplaçons la fonction analytique /(^ , ^) 

 par l'intégrale complexe 



/-• q)(y,t ) 



/■(^'*)=jj7T7r.^^ ' (11) 



la courbe A est tracée dans le domaine S autour des points 

 et 1 comme l'indique la ligure de la page 305, et m représente 

 un nombre quelconque supérieur à g. La fonction ^(a, t) existe 

 toujours, elle est donnée par la formule (7i, et nous savons 

 qu'elle est holomorphe en 2;, ^ et présente, au point z -=0, une 



singularité algébrique du type —i:,;^:i . C'est tout ce que nous 



avons besoin de retenir pour la suite. 

 Si dans l'équation (1) nous substituons la valeur (11), il vient 



p, ^ , , <p(cc,t)dxdz 



J Jo <1 



(1 — XpZ}"p('y. — 2)" 



^ On raisonne ici dans le cas où m est fractionnaire. Le cas d'un 

 exposant entier donne lieu aux mêmes distinctions, il est d'ailleurs 

 immédiat. 



