316 SUR L ÉQUATION INTEGRALE D ABEL 



Mais la courbe A n'a pas de rebroussement à l'origine et 

 l'intégrale relative à z est calculée suivant l'axe réel ; les deux 

 courbes d'intégration ne sont donc pas tangentes et l'ordre des 

 intégrations peut être interverti pourvu que (g — m + 1) -f w 

 soit plus petit que 2, et ceci a lieu puisqu'on a supposé g< 1. 

 On a donc 



F(i) = I (pia,t)dcc l 



J A J 



dz 



(1 - x^z)"^ ... (1 - Xpzyp{ a- 



et l'on voit que, par notre transformation, l'influence du facteur 

 f{z , t) se trouve en quelque sorte éliminée. Le problème du 

 développement suivant les puissances de t se pose exclusivement 

 sur l'élément 



r -, ,-^^—. ^> r , (12) 



^' 



(1 — XizY'il — XozY^ ... (1 — Xpzfpia. — z)^ 



qui joue ici le rôle de noyau. 



En outre, comme on connaît seulement une limite inférieure 

 de l'exposant m, nous le déterminerons par la condition que la 

 somme s = a^ + «g -|- . . . -^ap-^m soit égale à un entier 

 positif au moins égal à 2 ; il est clair que cette condition est 

 toujours compatible avec la précédente m > 5. Enfin, le cas 

 où la dite somme surpasserait 2 se réduit à celui où s = 2, en 

 vertu de l'égalité évidente 



j^(a-r.)'" 'doc'-^J^ 



hlz)dz 



où c représente une certaine constante. 



En résumé, le seul cas à envisager, où vient se condenser la 

 difficulté du problème, est celui de l'intégrale (12) avec s = 2. 

 Examinons ce cas et substituons à la variable z une nouvelle 

 variable v liée à la précédente par l'équation symétrique 



- - 1 - ^ ^ 1 - ^ 



1 — VXi 1 — ZXt ' 



l'intégrale (12) devient 



P r ^ (13) 



J j^ (1 - yiv)'"il - y,vY^ ... (1 - ypv)> ' 



