SUR l'Équation intégrale d'abel 317 



dans laquelle la signitication des lettres est la suivante 



1 1 - a axi - 1 a{l - x^) 



, 1 - 2/1 = ^ _ ^ , (14) 



l — «1 



1 — Xi 



(15) 



p _ _ (1 - yi)'"(i - yo.r- •■■ (1 - ypfp 



«"•(1 — Xi) 



_ _ (1 — a;i)i-'"(l — xo)-" ■ ■ ■ (1 — xp)-''p 

 - (« - !)"• ■ 



A l'égard de la forme (13) et des quantités y , il importe de 

 remarquer que quand t s'approche de zéro, y^ a l'unité pour 

 limite; si, d'autre part, tous les 1 — rcjSont des infiniment petits 

 du même ordre, les formules (15) montrent que les quantités 

 2/2 , ... yp ont pour limites des valeurs finies et différentes 

 de l'unité. Il résulte de là que, dans ce cas, la différentielle à 

 intégrer ne possède plus qu'un seul facteur singulier corres- 

 pondant aux hypothèses v=lett = 0,h savoir z/j . Le produit 

 de tous les autres facteurs 



(1 — yiv)-"^ ... (1 - ypv)-''p 



est holomorphe en t et développable dans tout le champ d'inté- 

 gration, limites comprises. On est ainsi ramené au cas traité 

 au§l. 



Les choses sont un peu plus compliquées si, parmi les quan- 

 tités 1 — Xi il en est d'ordre différent. La quantité y^ tend 

 toujours vers l'unité; supposons qu'on ait choisi pour 1 — x^ 

 parmi les infiniment petits 1 — x^, \ — x., , . . . \ — Xp, l'un des 

 infiniment petits d'ordre minimum ; alors, d'après (15), il arrive 

 que toutes les quantités yi qui ne sont pas finies et différentes 

 de l'unité augmentent à l'infini quand / s'approche de sa limite. 



Archives, t. XXXVIII. — Novembre 1914. 24 



