318 SUR l'équation intégrale d'abel 



Pour reproduire dans (13) des singularités de même nature que 

 celles considérées jusqu'ici, prenons à volonté sur la ligne d'in- 

 tégration un point w et partageons l'intégrale I en deux 

 autres ainsi 



Dans la première, remplaçons v par to (1 — v), dans la 

 seconde remplaçons de même v par w -f (1 — w) ^j nos deux 

 intégrales deviennent 



Jo '1--^' 



dv 



;r . . . (1 - zpv^p 



et (16) 



Jo «l 



dv 



avec 



Mit);"" ... (1 — UpVfP ' 



^ et M. = ^ {i = \, ... ])) 



yiCi — 1 1 — cûyi 



(à 



On voit par là que z^ tend vers une quantité finie — — r , diffé- 

 rente de l'unité, et qu'il en est de même pour tous les indices 

 tels que lim yi ne soit pas égal à oo ; on aura au contraire 

 lim Zi = 1, si lim yi= <=<., La première intégrale (16) est donc 

 du type (13) avec un nombre de facteurs singuliers moindre 

 que p. On montre de la même manière que la seconde inté- 

 grale (16) ne possède plus qu'un seul facteur singulier. 



Notre discussion établit donc que le nombre des facteurs 

 singuliers de l'intégrale peut toujours être abaissé. Si on prend 

 la formule (13), ou 



X 



dv 



(1 - z/iv)"" ... (1 - ypvj'p 



le produit des facteurs holomorphes tels que (1— i?/îv)-''«' peut 

 y être assimilé à la fonction /(s; , t) de la formule (1). On peut 



