SUR l'Équation intégrale d'abel 319 



donc, eu reprenant la même méthode, continuer de réduction 

 en réduction jusqu'à ce que l'intégrale finale ne contienne plus 

 qu'un seul facteur singulier. Arrivé là, il suffira d'appliquer les 

 formules (3) et (4) pour dégager les singularités de l'intégrale 

 (1) et, plus généralement, établir les développements de ¥{t) 

 autour du point critique t = 0. Il est presque évident que ces 

 singularités seront toujours des types algébrique ou logarith- 

 mique et la chose résulte des détails d'application de la méthode 

 sur lesquels je ne veux pas insister ici. 



Il importe encore de remarquer que la ligne d'intégration L 

 part de pour aboutir à 1, mais qu'elle ne coïncide pas néces- 

 sairement avec le segment rectiligiie qui passe par ces points. 

 En réalité, dans la transformation 



1 - a;,: 



z est réel, donc v décrit un cercle passant aux points 

 î; = 0, 1, -, du plan {v). La ligne L est l'arc de cercle unis- 

 sant et 1 et qui ne contient pas le point — ; si, entre cet arc 



et la corde, ne sont compris aucun des points tels que — la 



ligne L pourra se remplacer simplement par le segment recti- 

 ligne 01. Cette circonstance aura lieu toujours quand \esxi sont 

 réels; car ils sont alors inférieurs à l'unité et la formule 



\ — Xi 

 ^ 1 — X, 



fait voir que yi est aussi inférieur à 1, c'est-à-dire — positif et 

 plus grand que 1, ou encore négatif quelconque. 



§ 6. Prenons, comme exemple d'application de cette méthode, 

 l'intégrale 



F(-)=r\-i — ^ — ^' (17) 



/ ( 1 — :;"; 1 — xz)'> ^ ' 



dans laquelle on a a<,l.a-\-h = \, et où 1 — x joue le rôle 



