SUR l'Équation intégrale d'abel 321 



et le second membre est complètement défini, d'abord par la 

 convention que les arguments de a et de (a— 1) s'annulent 

 quand le point a traverse l'axe des x à droite du point 1, ensuite 

 par cette autre clause que le log u est réel et négatif quand u 

 est égal à une très petite quantité positive, la portion négative 

 de l'axe des u fonctionnant comme une coupure du dit loga- 

 rithme. 

 Prenons, dans la formule (18), l'intégrale 



j: 



(1 - x'z)z- 



pour lui appliquer la transformation (4), il vient 



r' dz 



r-, 



— a;'"-' log 11 — x') 



(20) 



. - rr'";" dz 



remplaçons ici x par sa valeur 



a — 1 



(21) 



log (l—x) par la formule (19) ; on voit (20) se partager dans 

 la somme de trois termes, ainsi 



J_ CfMdy. r M - x'oz- dz 

 2m J a — \ J 1 — x'z z" 



Le problème se réduit au développement, suivant les puis- 

 sances de w = 1 — X, des trois intégrales régulières qui figurent 

 au second membre. Pour être complets, donnons quelques détails 

 sur ces développements. 



