SUR l'Équation intégrale u'abel 323 



Faisons donc x=- z^ pour revenir à la définition primitive de 

 &o, on aura 



>-7: 



M::^/l£),, 



Dérivons maintenant hn ; 



dln (W + 1) C f^^)Ol." 1 « , 



log od 



l) Ç f{x)u- 



dx 2m I (a — x)"+^ oc — x 



+ T^- 1 -. z^-fi da ; 



J_ r f{y)oc'' 

 2m J (oc — x)"- 



remplaçons 



1 r f{a.)o(.^ , a j 1 /r 7, N 



— -. I , log dx = - (b'i+i — 6n) , 



2m J a - X »+» ^ ex - X x^ ^ ' ' 



et 



2m J (a - x)''+2 ^a - ^^^ _^ j^j ^^„+, (/l^ja; ) . 

 On trouve en définitive la relation 



laquelle servira à trouver les coefficients è^ , &„ , . . . de proche 

 eu proche. Avant d'en porter les valeurs dans la série (^23), il 

 faudra remplacer x pai' 1. 



Prenons, en dernier lieu, la troisième intégrale de la for- 

 mule (21) pour la développer suivant les puissances de u. 

 Considérons d'abord 



/"•^ 1 - (1 - m)-;" dz r>^ ;-a - a;« 



à laquelle la nôtre se réduit quand a. = oc. Appliquons dere- 

 chef la formule de réduction (4) ; le terme logarithmique tombe, 

 car ici 



X = t 



, et f l~-^ , t) = (1 - M)- - ^^ = 



