SUR l'Équation intégrale d'abel 325 



Intégrons la dernière équation ; en faisant 



y(i — u)" — 1 



on trouve la récurrence 



-i<-"-("-±->.. 



(w + l)«'.+i = (n - a + l)an + (- l"+i [—Jn) 



Ainsi donc si l'on écrit 



'^ 1 - (1 - w)°;° dz 



(24) 



«y 



^ 1 - (1 - M):: z" (25) 



= Co + CiU + C2U- + . . . = C(l — m)"-! + : , 



on a 



(1 - a)(2 — a) ... (m — a) 



Co = C et cn = an + C 



1.2.3 



et il est bon de remarquer que Cn vérifie la même récurrence que 

 an, à savoir la formule (24). En dernier lieu il faut, dans (25), 



au 



remplacer u par ^ . et porter la valeur développée dans la 



troisième intégrale de (21); toutes les intégrales en a s'expri- 

 meront visiblement à l'aide des dérivées successives de f(x) 

 calculées au point x= 1. 



§ 7. Il n'est pas hors de propos de terminer cette note par 

 l'examen d'un cas tout-à-fait concret. Le plus intéressant, à 

 coup sûr, est celui des intégrales hypergéoraétriques, qu'on 

 peut traiter aisément par cette méthode directe, sans recourir 

 à l'équation différentielle que vérifient ces intégrales. Ce pro- 

 blème étant depuis longtemps classique, je n'étudierai ici qu'un 

 seul cas, plus particulier encore, celui de l'intégrale elliptique 

 complète 



*y 



dz 



V ;(1 - :)(1 - xz} 



