326 SUR l'équation intégrale d'abel 



qui rentre dans l'intégrale (17) quand on fait 



a = b^l , f{z) = z '' . 



D'après la formule (21) X apparaît sous la forme d'une 

 somme de trois termes qui sont respectivement 



log u i doL I au \ 2 



~ ~2^ I Y/-(a _ 1) \ ^ - 1/ 



(26) 



1 / da / au \~2 « 



" ^ij V-^ia - 1) V " ^-~V ' ^-~~l ' 



J_ r ^^ /"^ 1 - V^ cZ. 



et 



cette dernière s'écrivant encore 



1. — ^^ log'^ ^ --^^ 



'^V Va(a - 1) /j _ «^^ 



V a — 1 



^"^ log-^ " '' . (28) 



Pour calculer ces diverses intégrales, nous n'emploierons pas 

 les relations développées au § précédent, mais nous procé- 

 derons d'une manière directe. Partons à cet effet de l'intégrale 



1 I a. ' ^^ 1 ^r + 2) (2n)! 



■J (a - l)"+i 



2m J (a - D^+i y^ nn +1) " 2^-[n\f ' 



qui se démontre sans aucune difficulté. En la dérivant par rap- 

 port à w, ce qui introduit la fonction de Gauss 



on tire 



'^('^)=^;r!^("') ' 



2m,.' (a - Ij^+i 



a - 1 



d(X 



^ (2w)' 



2a„(^i')2 [2v>(2w] - 2v^(») - log 4] 



