SUR l'Équation intégrale d'abel 327 



Si n est eiitier et positif, on peut, dans ce résultat, remplacer 



i2w)! _ 1.3.5 . . . (2n - 1) 

 22'>(n!)- ~ 2.4.6 . . . 2w ' 



et 



V.(2n) - rp{n) = ^- + -L_ + . . . i-^ . 



Développons les deux intégrales (26) suivant les puissances 

 de u et appliquons ce qui précède, on a 





i_ / ^^« /i _ ^iL_r^ = V A-3 ...2^- i y;^„ 



27ri / i/~/^ ,\ \ a - 1/ ^ \ 2.4 ... 2n 



1 / da , '^ L au Y''^ 



et 



n 



^ .-J \ 2.4 .. . 2h / \n + 1 n + 2 ^ ^ 2n/ 



Le calcul de (27) est un peu plus pénible. Partons de la 

 relation connue 



^^^3"=2.Fa-fl-f,i -».,.); (30) 

 le terme du degré w, dans F, a pour coefficient 



/, in\ l ^ m\ I m\(\ w\/3 m\ 1 1 m\ 



(/-2)(^-2J---r-2J(2-2)l2-2)---r-2-2J 



(1 — m) (2 — m) ... (« — m)n\ 



soit, réductions faites, 



(n — m + l)(w — m + 2) . . . (2w — »i) 



2ï^1 ^^ • 



La dérivée de ce terme par rapport à la variable m, est donc 



a;" (n + l)(n + 2) . . . 2n / 1 1 1 



2»" 1 . 2 . . . w \« + 1 w + 2 2n/ ' 



