328 SUR l'équation intégrale d'abel 



si entia on dérive la formule (30), par rapport à m, et qu'on 

 fasse m — 0, il vient 



log (i + Vi - x) ^ _log_2_ 

 Vi - X Vi - X 



y A 3.. 2n-l\ / 1_ _1_ n 



^ V 2.4 ... 2n / \w 4- 1 w + 2 ^ 2w/ 



a;" 



ai< 



Remplaçons ici x par la quantité , , portons le résultat 



dans (28) et intégrons ; nous avons immédiatement 



1 C ^^ 



^\; vhoc- 1 



log 



(' + y/' - ^--.) 



= .og.2 4- 



1.3 ... 2n - 1\- 



.4 ... 2h 

 1.» 



- >r^ /1.3 ... 2w - 1\- / 1 , , 1 \ 



-'2( 2.4... 2n j i;rn + --- + 2-^j"" ' 



résultat qui ne diffère de (29) que par le signe du second 

 membre. 



En réunissant les diverses équations qui précèdent, nous 

 obtenons en définitive le développement de X au voisinage de 

 x=l, o\iu = l —x = 0; c'est 



x = -.««f,2( 



u -^ /1.3 ... 2w - 1\- 



2.4 ... 2n 



1.» 



1.3 ... 2w - 1\- / 1 . 1 , , 1 . 



+ — T^ + • • • + tt: w" > 



2.4 ... 2« / \n + 1 n + 2 '" 2n, 



valeur conforme à celle que donne l'équation hypergéométrique. 



