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Über die unendlich kleinen Deformationen einer 

 biegsamen, unausdehnbaren Fläche. 



Von J. Weingarten. 



Uie allgemeine Theorie der krummen Flächen fallt zusammen mit 

 der Theorie der simultanen Transformation von binaeren quadratischen 

 Formen, die aus den Differentialen zweier unabhängig veränderlichen 

 Grössen gebildet werden und deren Coefficienten Functionen dieser 

 Veränderlichen selbst sind. Wenn man, nach dem Vorgange von 

 Gauss, den Punkten einer krummen Fläche stets die Abbildung dieser 

 Punkte auf eine Kugel vom Radius Eins zuordnet, so treten bei den 

 einfachsten geometrischen Betrachtungen zwei derartige quadratische 

 Formen hervor. Die erste derselben ist das Quadrat des Abstandes 

 zweier unendlich nahe benachbarter Punkte der betrachteten Fläche; 

 die zweite wird durch das Product dargestellt, welches man erhält, 

 wenn man diesen Abstand mit dem Werthe seiner Abbildung auf 

 die Kugel und dem Cosinus des Winkels multiplicirt , welchen die 

 Verbindungsgrade der zwei unendlich benachbarten Punkte der Fläche 

 mit derjenigen ihrer Abbildungen bildet. Anstatt dieser zweiten Form 

 bietet sich auch diejenige dar, welche das Quadrat des Abstand.es 

 der Abbildungen zweier unendlich nahen Punkte der vorgelegten Fläche 

 angiebt. Diese dritte quadratische Form hängt mit den beiden ersten 

 durch eine lineare homogene Gleichung zusammen. 



Werden durch x , y , z die als Functionen zweier unabhängig ver- 

 änderlichen Grössen p , q gegebenen Coordinaten eines Punktes einer 

 krummen Fläche bezeichnet, durch X, Y, Z die Cosinus der Winkel, 

 welche die in diesem Punkte auf die Fläche errichtete Normale mit 

 den rechtwinkligen Coordinatenaxen bildet, d. h. die Coordinaten der 

 GAüss'schen Abbildung dieses Punktes auf die, um den Coordinaten- 

 Anfangspunkt als Mittelpunkt, construirte Kugel vom Radius Eins, so 

 sind die drei angedeuteten quadratischen Formen die nachstehenden: 



da? + dy 2 + dz 2 = a u dp 2 + 2a l2 dpdq + a 22 dq 2 



dXdx + dYdy + dZdz = c u dp 2 -f 2C l2 dp dq + c 22 dq 2 



dX 2 + dY 2 + dZ 2 = h u dp 2 + 2b n dpdq + b 22 dq 2 . 



