Weingarten: Deformationen einer biegsamen, unausdehnbaren Fläche. 85 



Genüge leistet. In ihr bezeichnen a a , c ik die Coeffieienten der er- 

 wähnten quadratischen Formen, a die Determinante o u a 22 — a\ 2 der 

 ersten derselben; ferner k das Krümmungsmaass der zu betrachtenden 

 Fläche im Punkte {j>,q). welches als nur in einzelnen Punkten oder 

 Linien der Fläche verschwindend vorausgesetzt wird. 



Die Function <p seihst ist die Invariante des Differentialausdrueks: 

 vdx + rdy 4- vodz = Pdp 4- Qdq , 



d. h. die durch die Gleichung 



3P_8Q 



. fy 3.P 

 Vn n a 22 — a- 2 

 bestimmte Grösse. 



Ist irgend ein reellwerthiges Integral </> der Differentialgleichung I. 

 bekannt, so entspricht demselben eine dehnungslose Verschiebung der 

 vorgelegten krummen Fläche, derart, dass die Verschiebung ri eines 

 Punktes derselben nach einer festen Richtung r aus den Gleichungen: 



d<pR~ l d<pR~ l 



dr _ m C " ~9? r " ~^~ 



9j9 k]/a 



d<pR~ l d<pRr' 



c 2 . 



dr '' dp ' 2 9g 



= — K" ■ 



9? k]/a 



durch Quadratur ermittelt werden kann. In diesen Gleichungen be- 

 zeichnet R den Cosinus des Winkels , welchen die feste Richtung r 

 mit der im Punkte (p , q) errichteten Normalen bildet. 



Jeder bestimmten reellwerthigen Function cp, welche der Differential- 

 gleichung I. genügt, entspricht hiernach eine, bis auf additive Constante 

 bestimmte, dehnungslose Verschiebung der in Rede stehenden Fläche, 

 und umgekehrt entspricht jeder bestimmten dehnungslosen Verschiebung 

 derselben eine bestimmte Function f, welche der Differentialgleichung I. 

 genügt. 



Es wird daher einer solchen Function <p, die mit den dehnungs- 

 losen unendlich kleinen Verschiebungen einer Fläche im innigsten Zu- 

 sammenhange steht, im Folgenden der Name der Verschiebungs- 

 fun ction beigelegt und die Differentialgleichung I. als die Differential- 

 gleichung der Verschiebungsfunction bezeichnet werden. 



Es gelten alsdann die folgenden Sätze : 

 Jede lineare homogene Function 



aX + bV+cZ 

 der Cosinus X , T, Z stellt eine Verschiebungsfunction dar. 



