Weingarten: Deformationen einer biegsamen, unausdehnbaren Fläche. 8<) 



Diese nothwendigen Bedingungen erweisen sich aber auch sofort als 

 hinreichende. Demi aus den Gleichungen 



dX 2 + d¥ 2 + dZ 2 = K(du 2 + dr) 

 X' + Y 2 + Z 2 = i 



ziehl man. in Folge der linearen partiellen Differentialgleichungen, 

 denen ihnen gemäss die Grössen A' . Y , Z unterworfen sind , den 

 Schluss, dass die nachstehenden Differentialausdrücke: 



i ßX , ÖX 

 X \ ov ou 



dv I = da 

 A \ öv du 



i r?r öv 



II. 



i{ 



A 



die Totaldifferentiale dreier Functionen ot, , ß , y der Variablen u , v dar- 

 stellen, aus denen sich diese Functionen durch Quadraturen ermitteln 

 lassen. Nach dieser Ermittelung stellt die Function 



f = *X+ ßY+yZ 



eine Function der Grössen u,v dar, welche den Bedingungen 



A"=o , A ,2 = i , A 22 = o 



in der That Genüge leistet. Daher folgt: 



Damit eine Fläche eine unendlich kleine mit keiner Dehnung 

 verbundene Deformation gestatte, 1 »ei welcher ihre Krümmungs- 

 linien in die Krümmungslinien der deformirten Fläche über- 

 gehen, ist es notnwendig und hinreichend, dass die Ab- 

 bildung ihrer Krümmungslinien auf die Gauss'scIic Kugel diese 

 Kugel in unendlich kleine Quadrate zu theilen geeignet sei. 

 Die Flächenfamilie. welche durch die im vorstehenden Satze aus- 

 gesprochene Eigenschaft charakterisirt ist, besitzt ein Kennzeichen, 

 welches demjenigen analog ist, das ich in einer der Königlichen 

 Akademie am 8. November 1883 vorgelegten Mittheilung für diejenigen 

 Flächen autgestellt habe, welche selbst durch ihre Krümmungslinien 

 in unendlich kleine Quadrate getheilt werden können. 



Wenn unter p und p' die Hauptkrümmungsradien einer krummen 

 Fläche im Punkte (x,y,z) derselben verstanden sind, so kann dieses 

 Kennzeichen in der nachstehenden Form ausgesprochen werden: 



Damit die Abbildung der Krümmungslinien einer Fläche auf 

 die GrAtrss'sche Kugel geeignet sei. diese Kugel in unend- 

 lich kleine Quadrate zu theilen, ist es notnwendig und hin- 

 reichend, dass der Differentialausdruck 



