Kronecker: Zur Theorie der Gattungen rationaler Functionen. 253 



Nimmt man nun zu den Variabein .r, , x„ , x^ , x, noch eine Variable x n 

 hinzu, so sind offenbar die sämmtlichen Functionen: 



(x a , x$ , x y , x^) . 



welche entstehen, indem man für a, ß, y, & je vier unter einander 

 verschiedene von den Zahlen 0,1.2,3,4 setzt, nur Functionen der 

 zwei Grössen y a und y l oder: 



(a-p — x 3 ) {x 2 - x 4 ) {x l —x i ){x 2 —x 4 ) 



(x — x 2 ) (x ? — x 4 ) + (x — x 4 ) {x 3 —x 2 ) ' {x t — x 2 ) (x 3 — x 4 ) + {x, — x 4 ) (x 3 — x 2 ) ' 



welche selbst rationale Functionen von x , X, , x 2 , #., . .c ( sind. Die 

 Coefficienten der Gleichung, welcher alle diese conjugirten Functionen 

 genügen, hängen also nur von zwei rationalen Functionen der fünf 

 Grössen x ab. 



Aus den Functionen kann leicht eine solche gebildet werden, 

 die bei allen eyklischen Permutationen von drei Grössen x fünf ver- 

 schiedene Werthe annimmt, deren symmetrische Functionen nur von 

 zwei Functionen der Grössen x abhängen. Solche fünf conjugirte 

 Functionen von x Q , x x , x 2 , x 3 , x 4 erhält man z. B., wenn man zu dem 

 Product- Ausdrucke : 



- J — A 4- - — - 4 • + -- 3 — ^ - • -4— 3 + - J — 3 



t( I " " it .-. ix n ™x/ Vi j. % aJ Vi 2 d ° 



die vier übrigen conjugirten bildet. Diese fünf conjugirten Functionen 

 sind offenbar solche, wie ich sie in dem obigen Chat aus meiner 

 Mittheilung vom 27. Juni 1861 als existent hervorgehoben habe; sie 

 genügen einer Gleichung fünften Grades, deren Coefficienten zwei- 

 werthige rationale Functionen der fünf Grössen x sind und nur von 

 zwei solchen Functionen abhängen, und sie entstehen - wie ich 

 noch bemerken will — ganz einfach, indem die zweite Invariante je 

 einer der Gleichungen vierten Grades, welche aus der Gleichung fünften 

 Grades: 



(X - .f.,) (x — .rj (X — X 2 ) (.)' — .f.) (.(' -- .!',) = O 



bei Adjunction je einer der Grössen x , x, , x 2 , x~ , x 4 hervorgehen, 

 durch die Quadratwurzel aus der Discriminante dividirt wird. 



(Fortsetzung folgt.) 



SitzmiL'.slxTii-liti' 1SSÜ. 



