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Über die Werthe, welche die Integrale einer 



Differentialgleichung erster Ordnung in singulären 



Punkten annehmen können. 



Von L. Fuchs. 



In ihrer berühmten Abhandlung 1 haben Briot und Bouquet, nachdem sie 

 nach dem Vorgange von Cauchy die Integrale einer Differentialgleichung 



definirt. das Verhalten derselben in der Umgebung einer Stelle (z , y ), 

 in welcher f(z , y) entweder unendlich oder mehrdeutig oder endlich 

 unbestimmt wird, einer eingehenden Untersuchung unterworfen. 



Ein sorgfältiges .Studium dieser Abhandlung, welcher ich schon 

 vor langer Zeit die Anregung zur Beschäftigung mit der Theorie der 

 Differentialgleichungen zu verdanken hatte, hat mich erkennen lassen, 

 dass in den Entwiekelungen von Briot und Bouquet manche Lücke 

 auszufüllen sei und dass manche Resultate einer Ergänzung bedürfen. 



In dem Folgenden erlaube ich mir, einen Auszug aus den Er- 

 wägungen zu geben, zu welchen mich meine Studien über diesen 

 Gegenstand geführt haben. 



Schon bei der Definition der Integrale begegnet man einer Lücke. 

 Sind nämlich die Anfangswerthe (z , y ) so beschaffen, dass f(: , y) 

 und alle partiellen Ableitungen dieser Function nach z für z = z , y = y 

 verschwinden, dass mit anderen Worten (a,) die Form 



(£) % = iy-yo) m U^y) 



erhält, so ist der Nachweis der Existenz eines Integrals nicht erbracht. 

 Diese Frage ist offenbar mit der anderen identisch: wie verhalten 

 sich die Integrale einer Differentialgleichung 



(7) | = ?^«y) 



in der Umgebung von z = o? 



1 Journal de l'Ecole Polytechnique cah. 36 p. 133. 



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