Fuchs: Integralwerthe in singulären Punkten. 281 



der Form (ß), welches für z = z den Werth y = y annimmt, identisch 

 gleich dem constanten Werthe y sei. Da aber, wie gezeigt werden 

 soll, es im Allgemeinen ausser y = y noch andere Integrale der 

 Gleichung (Jo) giebt, so giebt es im Allgemeinen auch mehr als ein 

 [ntegral der Gleichung (a.), welches gegebenen Anfangsbedingungen 

 entspricht. 



Im Folgenden werde ich mich darauf beschränken, die Singulari- 

 täten z = o in Gleichungen der Form (7) einer näheren Untersuchung 

 zu unterziehen, und damit die Discussion der zuletzt erwähnten Frage 

 ' über die Bestimmung eines Integrals durch Abgeschriebene Anfangs- 

 werthe zu verbinden. 



1. 



Wir wollen zuerst einige Benennungen hervorheben, deren wir 

 für die Folge bedürfen. Die Bezeichnungen der singulären Punkte 

 als wesentliche und ausserwesentliche , welche Hr. Weierstrass für 

 die eindeutigen Functionen einer complexen Variabelen eingeführt hat, 

 sind für die mehrdeutigen Functionen nicht ausreichend, weil selbst 

 diejenigen Stellen einer Function, für welche dieselbe zwar bestimmte, 

 von den letzten Wegelementen, auf welchen man in dieselben ge- 

 langt, unabhängige Werthe erhält, deren Umkreisung aber zu anderen 

 Functionswerthen führt, nicht auf dieselbe Weise aufhebbar sind, wie 

 die aussei-wesentlich singulären Punkte einer eindeutigen Function. 



Wir wollen daher eine Stelle, in welcher eine Function eine von 

 den letzten Wegelementen abhängige Werthenreihe annehmen kann, 

 eine Stelle oder einen Punkt der Unbestimmtheit nennen. Diese 

 Benennung drückt eben die Natur der Stelle, dass die Function in 

 ihr nicht einen bestimmten Werth erhalte, aus. 



Ein Punkt der Unbestimmtheit kann zu gleicher Zeit ein Ver- 

 zweigungspunkt sein oder auch nicht. Aber die Verzweigung in einem 

 solchen Punkte kann von zweierlei Art sein. 



Ist nämlich a ein Punkt der Unbestimmtheit, so kann es mög- 

 lich sein, dass man 11 durch eine geschlossene Curve von hinlänglich 

 kleinen aber endlichen Dimensionen von der Art abgrenzen kann , dass 

 innerhalb derselben ausser dem Punkte a selbst kein Verzweigungs- 

 punkt enthalten ist. Wir wollen alsdann die Verzweigung eine be- 

 stimmte nennen. So ist in der Function (z — a) x <p (z) , in welcher 

 <p (z) in der Umgebung von z =a eindeutig aber in z=-a unbestimmt 

 ist und wo A eine behellige reale Grösse bedeutet, a ein Punkt der 

 Unbestimmtheit, aber mit bestimmter Verzweigung. 



