282 Sitzung der physikalisch -mathematischen Ciasse Vom 11. März. 



Es kann aber zweitens möglich sein, däss, wie klein auch die 

 Curve, durch welche a abgegrenzt wird, sein mag, immer in der Fläche 

 derselben unzählig viele Stellen ausser a vorhanden sind, in welchen 

 Verzweigung stattfindet. Alsdann wollen wir die Verzweigung eine 

 unbestimmte nennen. In der Function 



I 



**-" — b 



z. B., wo b eine von Null verschiedene Constante und m eine positive 

 ganze Zahl bedeutet, ist z = a ein Punkt der Unbestimmtheit, in 



welchem zugleich eine unbestimmte Verzweigung statt hat. 

 i 

 Es sei nämlich e < ~" -- b, alsdann liefert die Gleichung 



i i , . 



= -^ h ilem 



z — a c, — a 



für die unendliche Reihe der realen ganzen Zahlen k eine unendliche 



Reihe von Stellen z, welche sämmtlich so beschaffen sind, dass 



i 

 (f~" = b, und wovon eine unendlich grosse Anzahl von o verschie- 

 dener, innerhalb eines noch so kleinen diesen Punkt umschliessenden 

 Bereiches sich befinden. In jedem dieser Punkte findet aber Ver- 

 zweigung statt. 



Es ist im Allgemeinen nicht möglich . eine Function durch 

 eine in der ganzen Umgebung eines Punktes o der Unbestimmtheit 

 mit unbestimmter Verzweigung gültige nach irgend welchen Potenzen 

 von z — a fortschreitende Reihe darzustellen. 



Dieser Umstand tritt jedoch schon für Stellen der Unbestimmtheit 

 ein. in deren Umgebung keine Verzweigung statt hat. — So würde 

 z. B. die Function 





j— -6 



zwar innerhalb eines von zwei Kreisen mit dem Mittelpunkte a ge- 

 büdeten Ringes, innerhalb dessen nicht eine Wurzel der Gleichung 



i 

 f z ~ a — b = o 



gelegen ist, mit Hülfe des LAURENT'schen Satzes nach positiven und 

 negativen Potenzen von z — a entwickelbar sein. Alter diese Knt- 

 wickelung gilt nicht bis zn beliebiger Annäherung an den Punkt a. 

 An das Vorhergehende knüpft sich eine für die Theorie der 

 Differentialgleichungen folgenreiche Erwägung. Da dämlich für 



nicht lineare Differentialgleichungen die sämmtlichen hier näher be- 



