Fuchs: Integralwerthe in singulären Punkten. 2öo 



zeichneten Singularitäten auftreten . so wird man in der Regel darauf 

 verzichten müssen von dem gewöhnlichen Hülfsmittel Gebrauch zu 

 machen, wonach die Natur der Singularität durch eine in der Um- 

 gebung der singulären Stelle gültige Reihenentwickelung erforscht 

 wird. - - Man wird vielmehr zu anderen Hülfsmitteln seine Zuflucht 

 nehmen müssen, um den ganzen Werthvorrath, dessen die Function 

 in der Umgebung einer singulären Stelle fähig ist, zu ergründen. 



2. 



Wir betrachten die Differentialgleichung 



(A) |-7^.l>. 



worin F(z , y) eine in dem ganzen Verlaufe der unabhängigen Variabelen 

 z,y defniirte Function und k eine ganze, positive Zahl hedeutet. 



Wir haben zunächst zu untersuchen, ob z=o für die Integrale y 

 der Gleichung (A) ein Punkt der Unbestimmtheit ist. - - Wenn dieses 

 stattfindet, so kann für z = o , y Werthe erlangen, für welche F(z,y) 

 als Function von z und y keine Singularität darbietet. Ist p ein 

 solcher Werth und ist in der Umgebung von z = o,y—p 



*o + <*■(</— p) + /3, j + . . . ., 



F(z,y) 



so ist es nicht zulässig aus der Gleichung 



(*) -r = s*K + *, (y -p) + ß, z + • • • -i , 



wie es Briot und Bouquet 1 thun, zu schliessen, dass z als Function 

 von y für y=p den Werth z = o nicht erreichen könne. In der 

 That würde ein solcher Schluss die Voraussetzung enthalten, dass- y 

 längs eines Weges von endlicher Länge von einem Werthe y zu dem 

 Werthe p gelangen müsste, wenn gleichzeitig z von einem der Null 

 naheliegenden Werthe z = z in z = o einrückt. — Ist aber z = o 

 ein Punkt der Unbestimmtheit, so sind diese Voraussetzungen nicht 

 erfüllt. Es kann alsdann vielmehr y von einem Werthe y zu einem 

 beliebig weit davon entfernten Werthe p übergehen, während z in 

 beliebiger Nähe von z — o verbleibt. — Man darf aber dann 

 nicht zur Feststellung des Zusammenhanges zwischen 2 und 



1 A. a. 0. p. 145 bei einer ähnlichen Gleichung, deren sie sich zum Nachweis 

 der eindeutigen Bestimmung eines Integrals bedienen, worauf wir später noch zurück- 

 kommen werden. 



