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Fuchs: Integralwerthe in singulären Punkten. JS.) 



Daher ist auch im Allgemeinen z = o ein Punkt der Unbestimmt- 

 heit für jedes Integral der Gleichung (i). 



Es kann aber eintreten, dass ein besonderes Integral w so be- 

 schaffen ist. dass seine logarithmische Ableitung in z = o nicht un- 

 bestimmt wird. Diesem entspricht alsdann nach Gleichung (2) ein 

 besonderes Integral y der Gleichung ( 1 ) , für welches z = o nicht 

 Punkt der Unbestimmtheit ist. 



Soll aber das allgemeine Integral der Gleichung (1) in: = o nicht 

 unbestimmt sein, so ist nothwcndig und hinreichend, dass 



wo (p t , (p-, in z = o nicht unbestimmt werden, und dass zu gleicher 

 Zeit für — - , z = o nicht Punkt der Unbestimmtheit ist. 



Da 1 



»• 



= C 



so sind diese Bedingungen auch gleichbedeutend mit den beiden fol- 

 genden : 



, f(&-*)* 



<p, und p- x ' 



dürfen für = nicht unbestimmt werden. 



Man kann immer' 2 das Fundamentalsystem von Integralen w, . >r, 

 der Gleichung (3) so einrichten, dass in der Umgebung von z = o 

 entweder 



(5) «?, = z r ' • \J/, • »' 2 = z ri • 4/ 2 , 



oder 



( 5 a ) w % = sP • 4 / , w 2 = z r -'-' J (x + z ! < • 4< • log z) , 



wo /•, . /•, bestimmte reale oder complexe Grössen, g eine ganze positive 

 Zahl, \J/,.\//,. respective 4/ und % Reihen bedeuten, welche im All- 

 gemeinen eine unendliche Anzahl negativer und positiver ganzzahliger 

 Potenzen von z enthalten. 



I )a - = o ein Punkt der Unbestimmtheit für das allgemeine Integral 

 der Gleichung (3) ist, so muss im Falle (5) wenigstens eine der Reihen 

 4^,, \J/ a und im Falle (5*) wenigstens eine der Reihen 4 / > % eme un " 

 endliche Anzahl negativer Potenzen von z enthalten. 



Soll das allgemeine Integral der Gleichung (1) in z = o nicht 

 unbestimmt werden, so muss den oben gefundenen Bedingungen zu- 



1 Siehe meine Arbeit Borchardts Journal Bd. 66 S. 128 — 130. 

 - Nach meiner Arbeit Borchardts Journal Bd. 66 S. 131 — 139. 



