Fuchs: Integralwerthe in singulären Punkten. 291 



Sübstituirt man diesen Ausdruck in (8), so folgt durch Ver- 

 gleichung der Coefficienten von z~ 2k ' auf beiden Seiten 



(io) -A C + ±Bl = o. 



Sollen demnach die sämmtlichen Integrale der Glei- 

 chung (i) in c = o nicht unbestimmt werden, so muss 



A + B y + C f 



ein vollständiges Quadrat sein. 



Dieses Resultat findet seine Aufklärung durch die Untersuchungen 

 in Nr. 3. In der That ist in unserem Falle 



(11) G(y) = A +B y+Cy, 

 und aus der Gleichung 



du Gfo) 



(12) Tz = ^~ 



ergiebt sich, wenn die Wurzeln a, . a 2 der Gleichung (?(*)) = o von 

 einander verschieden sind, 



. . 11 1 (t[ — a\ 



( 1 3) — j ~t^i = -FT, — — r • log - — + const. 

 1 — k z 1 ' C (r/, — a 2 ) yi — a 2 J 



Es wird daher für einen beliebigen Werth von *j nach unzählig 

 vielen Umläufen dieser Variabelen um den Punkt er, oder a 2 , z gegen 

 Null convergiren und gleichzeitig das Integral y der Gleichung 



(14) j-G(v\)=p +p l y +p,y 2 , 



in welche (1) übergeht, wenn man an die Stelle von 2 \, *j als unab- 

 hängige Variabelen einführt, für die verschiedenen Werthe von *j, 

 welche zu z = o gehören , im Allgemeinen verschiedene Werthe an- 

 nehmen, oder mit anderen Worten, es wird das Integral y der 

 Gleichung (1) jeden möglichen Werth annehmen, wenn z auf geeig- 

 neten Wegen in z = o einrückt, d. h. z = o ist ein Punkt der Un- 

 bestimmtheit für das allgemeine Integral von (1). 



Sind dagegen die Wurzeln a, , a 2 der Gleichung G(y) = o ein- 

 ander gleich, so liefert die Integration der Gleichung (1 2) 



(i6) 7^i-i^= -i^ + const - 



Dieser Gleichung gemäss wird z nur für *j = a, Null, demnach 

 ist es alsdann auch nicht erforderlich, dass ^ = ein Punkt der Un- 

 bestimmtheit für die Integrale der Gleichung (1) werde. 



Es ist aber selbstverständlich , dass die in Gleichung ( 1 o) ent- 

 haltene Bedingung nicht die hinreichende dafür ist, dass alle Integrale 



