Fuchs: Integralwerthe in singulären Punkten. 293 



In diesem Falle erhält die Gleichung (i) die Form 



dy 



(•9) Zj z =Po J rl\y J rP2y 



und die Gleichung (3) die Form 



d 2 w 



Pj__J_, d lo 8Pi 



z z dz 



dw p p 2 



— H —w = o 



dz z 2 



und es ist 1 z = o nicht ein Punkt der Unbestimmtheit für die Inte- 

 grale der Gleichung (20), folglich auch nicht für diejenigen der 

 Gleichung (19). 



Behält man die Bezeichnungen des Falles (I) bei, so bedeuten 

 hier r, , r 2 die Wurzeln der algebraischen Gleichung 



(21) r 2 -B r + A C = o, 2 



für den Fall, dass die Wurzeln dieser Gleichung nicht bloss um ganze 

 Zahlen von einander verschieden sind, dagegen sind r 2 und r 2 — g die 

 Wurzeln derselben Gleichung, wenn sie nur um ganze Zahlen von 

 einander verschieden sind. Wir wollen überdies im ersten Falle fest- 

 setzen, dass der reale Theil von r, nicht kleiner als der von r, sei. 



Die Reihen 4/ l , %//, bez. -J/ und % enthalten jetzt nur ganze positive 

 Potenzen und es sind -^(o) . \|/ 2 (o) , \//(o) , %(o) von Null verschieden. 



In dem Falle , dass die Differenz r, — r, keine ganze Zahl , ist 

 noch ein Unterschied zu machen, je nachdem 



a) der reale Theil von r 2 — r, positiv oder 



b) der reale Theil von r 2 — r, Null. 



In dem Falle a) folgt aus (18), dass das allgemeine Integral der 

 Gleichung ( 1 9) in der Umgebung von z = o die Form hat 



(22) y = «P(*;* r >- r .), 



wo *ß eine nach ganzen positiven Potenzen von z,^^^ fortschreitende 

 Reihe bedeutet. 



Für z = ergiebt sich aus (18) 



»"-TS-. 



Setzt man in (21) 



r = -C s, 



so erhält man die Gleichung 



(2 1 '■') C s 2 + B s + A =-- o . 



1 Ebenda. 



2 Ebenda S. 147 und Burchardts Journal, Bd. 68 S. 367. 



Sitzungsberichte 1886. 



