Fuchs: Integralwerthe in singulären Punkten. 297 



können, dass es ausser y = u kein anderes Integral der Gleichung (F) 

 geben könne, welches für z = z den Werth y = y annähme. 



In der That betrachten wir in der mit (2) identischen Gleichung 



_. dz 1 



(G) — = — V(z ,u,v) 



dv v 



; als Function von v, so hat (G) die Beschaffenheit der Gleichung (A), 

 wenn in der letzteren y mit z und z mit v vertauscht und k = m 

 gesetzt wird. Denn da die Function u von z als in ihrem ganzen 

 Verlaufe bekannt vorausgesetzt werden muss, so ist damit t(z,u,v) 

 eine wohldefinirte Function von z und v. 



Nun haben wir in den vorhergehenden Nummern erkannt, dass 

 ?i = o ein Punkt der Unbestimmtheit der Integrale der Gleichung (G) 

 sein kann, was auf dasselbe hinauskommt, dass es unzählig viele 

 Functionen z von v geben kann, welche für v = o jeden behebigen 

 Werth , also auch den Werth z = z Q annehmen und der Differential- 

 gleichung (G) Genüge leisten. Dann aber giebt es auch unzählig viele 

 Functionen v von z, welche für z = z verschwinden und der Differential- 

 gleichung (2) genügen, d. h. unzählig viele Functionen y = u + v, 

 welche für z = ^r den Werth y annehmen und der Gleichung (F) 

 genügen. 



Der Fall, wo m>\, setzt voraus, dass y = u die Gleichung 



befriedigt, derselbe tritt also nur für besondere Integrale der Gleichung 

 (F) auf. 



Aber wir haben in Nr. 3 erkannt, dass auch für m = 1 der Punkt 

 p = o ein Punkt der Unbestimmtheit für die Integrale der Gleichung (G) 

 werden kann. 



Der Satz, dass es nur ein Integral u der Gleichung (F) 

 gebe, welches vorgeschriebene Anfangsbedingungen (z ,y ) 

 befriedigt, ist also nur dann richtig, wenn für diese Func- 

 tion u die Integrale der Gleichung (G) nicht den Punkt der 

 Unbestimmtheit v = o besitzen. 



7. 



Zur Erläuterung des Vorhergehenden wollen wir zuerst ein Bei- 

 spiel betrachten . in welchem m > 1 . Es sei 



dy_^ _ a(ot,; + ßy)- — a(az + by) 



${az + by)-b{*z + ßy) 2 



