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Über die Integration der Reihen. 



Von P. du Bois-Reymond. 



I. 



Vorbemerkung. 



Wichtige Punkte der Lehre von den Reihen, deren Glied von einer 

 Veränderlichen abhängt, gewinnen an Deutlichkeit, wenn man eine 

 solche Reihe auffasst als Function zweier Variabein , die man am zweck- 

 mässigsten beide in's Endliche verlegt. Man setze: 



p = n 



U n (x) = 2 uAx) = <p(x , e) , 

 p=\ 



wo e = n~ l zwar sprungweise sich ändert, aber auch als continuirliche 

 Variabele gedacht werden kann, indem man zwischen U„ und U n+l 

 z. B. <p (x , s) = U n + (e _i — n) {U n+J — U n ) einschaltet. Hierin ist n als 

 die grösste in e~ l enthaltene ganze Zahl aufzufassen. Übrigens ist die 

 so definirte Function <p(x,e) eine stetige Function von x und e > o, 

 wenn U n {x) eine stetige Function von x ist. Eine solche Function 

 <p(x,e) lässt sich leicht durch Darstellungsformeln ausdrücken, z.B. 

 durch das LAPLACE'sche Integral. 



Nun sei <p (x , e) auch für e = o eine stetige Function sowold von 

 x — und zwar für jeden Punkt x des Intervalls a < x < b — als auch 

 von e . wobei aber natürlich nur das Gebiet e > o gemeint ist. Alsdann 

 giebt es, Heine's durch Hrn. Lüroth vervollständigtem Princip gemäss, 

 lür eine beliebig klein gegebene Grösse A, stets eine hinreichend 

 kleine Grösse f > {x l — x) 2 + s 2 , der Art, dass | f(x, o) — cp(x l , s) | < A 

 sei für das ganze Intervall a . . . b. Da hieraus die Stetigkeit von 

 <p(x . e) für jeden Punkt der Linie e = o zurückfolgt, so ist diese Stetig- 

 keit offenbar eine geringere Forderung, als wenn von vornherein Heine's 

 gleichmässige Stetigkeit verlangt wurde. Somit ist auch die Forderung. 



dass der Rest R n {x l ) = %u n (x t ) für jeden Punkt x des Intervalls a . . .b 



mit n~ ' und x l — x bedingungslos verschwinde, eine geringere Forde- 

 rung, als die sogenannte »gleichmässige Convergenz«, welche verlangt, 

 dass er bei zunehmendem n für das ganze Intervall von x zugleich 



