oder 



P. du Bois-Reymond: Über die Integration der Reihen. 361 

 Es sei 



Qi (?) = 1 1 S «p (#) ] dx — % \u p (x) dx , i . 



Q(x) = lim <p{x , e)dx — lim </>(#, s)dx 2. 



Unter welchen Umständen sind alsdann die Functionen 

 Q gleich Null. d. i existiren sie nicht, und unter welchen 

 Umständen existiren sie in von Null verschiedener Weise, 

 gleichviel ob bestimmt oder unbestimmt oder unendlich. 



Man kann sie kürzer schreiben unter der Voraussetzung, dass 

 die zweiten Terme rechter Hand in 1 . und 2 . endlich und bestimmt 

 sind Dann ist : 



Q, (x) = lim 1 1 2 u p (x) I dx , 3 . 



Q(x) = lim \dx (<p (x , o) — (p (x , em , 4. 



und es gilt hier die Bemerkung, dass m und s~' nicht alle ganzen 

 Zahlen durchlaufen bez. continuirlich zu wachsen brauchen, sondern 

 in beliebigen Sprüngen unendlich werden können, ohne andere Grenzen 

 Q und Q, zu ergeben. Von der aus 



Q 2 {x) = I ftej dy^{x , y) - jdyjdx^(x ,y) 5. 



*o yo 'Ja *t> 



folgenden Darstellung : 



Q 2 (*) = lim | dx j dy^{x , y) 6. 



gilt Gleiches. 



In Bezug auf 4. schliessen wir aus dieser Bemerkung, dass wir 

 auch die Function (p(x,s) gegeben annehmen dürfen, und von ihr 

 aus die Reihe bilden können, indem wir setzen: 



u^cpix,!), u p = <p\x,~\-<p(x,^— i y ) 



<j) ( x , — ) = 5 uJx) , <p{x , o) - <p ( x , — ) = — 2 i(Jx) \ 

 \ n ) • \ n J "+t ' I 



Wir vereinfachen den Atisdruck des allgemeinen Problems, ohne 



es erheblich einzuschränken, indem wir in dem Intervall a . . . b, 



dem x und x angehören mögen, Xu p (x) und \im<p(x,e) endlich an- 



