P. du Bois-Reymond: Über die Integration der Reihen. 363 



der Function <p(x,e) selbst zu erkennen, ob ein Unstetigkeitspunkt 

 solche Wirkung hat oder nicht. 



Bleibt also für die Frage nach der Existenz der Function Q{x) 

 noch der Fall zu untersuchen übrig, wo die Function <p(x, e) durchweg 

 unter einer endlichen Schranke sich befindet. Dies wird z. B. ein- 

 treten, wenn sie für das ganze Intervall von x und für e = o 

 stetig ist. bez. die Reihe stetiger Convergenz sich erfreut. 

 Dann sind die Functionen Q(x) natürlich Null. 



Eine für das Nullsein von Q(x) weniger verlangende Bedingung 

 hat Hr. Kronecker aufgestellt. 1 Es rnuss die Grösse s so klein 

 angenommen werden können, »dass die Gesanimtgrösse der 

 Intervalle, in denen <p{x , s) über einer gegebenen kleinen 

 Grösse & liegt, kleiner als eine zweite beliebig gewählte 

 Grösse $' wird«, 



Aber diese ausreichende Bedingung ist offenbar auch nothwendig, 

 mithin ist sie mit der Forderung Q(x) = o vollständig aequivalent. 



Ich gelange ausserdem zu einer für ihre Anwendung noch weniger 

 fordernden, doch keineswegs noth wendigen Bedingung: 



Die Functionen Q existiren auch nicht, wenn die Function 

 <p(x,e) unter einer endlichen Schranke bleibt und für e = o 

 in einem System von in jedem kleinsten Intervall von x vor- 

 kommenden Punkten stetig ist. bez. wenn die Reihe in jedem 

 kleinsten Intervall Stetigkeitspunkte der Convergenz besitzt. 



Denn in diesem Fall kann sie die weiter unten aufzustellende 

 nothwendige Vorbedingung für die Existenz der Functionen Q nicht 

 erfüllen. 



Dieser Satz ist nach zwei Richtungen hin von Nutzen. Ein- 

 mal enthält er che geringste bis jetzt bekannte Forderung, die man 

 an die Reihe zu stellen hat, um sie. wie man es nennt, ghedweise 

 integriren zu dürfen, und, weil er eine nothwendige Folge der im 

 Art. I eingeführten Begriffe ist, rechtfertigt er deren Aufstellung. 

 Zweitens aber führt er zur Erkenntniss der eigentlichen Kernfrage in 

 dieser Materie, mit deren Beantwortung sie als der Hauptsache nach 

 aufgeklärt erscheinen würde. 



Der Satz legt nämlich zunächst die Frage nahe, ob denn Functionen 

 <p(x,e) existiren, die zwar für jeden besonderen Werth x mit e ver- 

 sehwinden, aber in jedem kleinsten Intervall von x zugleich stetig und 

 unstetig sein können, da doch, wenn nicht in jedes kleinste Intervall 

 Unstetigkeitspunkte fielen, die weiter gehende Forderung erfüllt wäre. 

 dass die Stetigkeitspunkte endliche Intervalle ausfüllten. Eine derartige 



1 Diese Sitzungsberichte. 1878. S. 54. 



